Hemmes mathematische Rätsel: Die größte Primzahlzahl
Die Mitglieder der mathematischen Gesellschaft der altehrwürdigen englischen Universität Cambridge haben sich den klangvollen Namen »Archimedier« gegeben. Seit 1939 geben sie etwa einmal pro Jahr eine Zeitschrift mit dem Titel »Eureka« heraus. In ihr veröffentlichen Studenten und Mathematiker aus der ganzen Welt Artikel aus allen Bereichen der Mathematik, aber auch über Denksportaufgaben und Puzzles. Viele berühmte Mathematiker und Physiker wie Paul Erdös, Martin Gardner, Douglas Hofstadter, Godfrey Hardy, Béla Bollobás, John Conway, Roger Penrose, Ian Stewart, Timothy Gowers, Stephen Hawking und Paul Dirac haben für die bislang erschienenen 62 Hefte von »Eureka« Aufsätze geschrieben. In der im Juni 1979 herausgegebenen 40. Ausgabe von »Eureka« stellten J. R. Richard und J. J. Hitchcock den Archimediern ein ungewöhnliches Primzahlproblem.
Die Zahl 1173 hat drei Paare benachbarter Ziffern, nämlich 11, 17 und 73. Jede diese Zahlen, die von den Ziffernpaaren gebildet wird, ist eine Primzahl, und sie alle sind verschieden. Welches ist die größte Zahl, deren Paare benachbarter Ziffern alle unterschiedliche Primzahlen bilden?
Die zweistelligen Primzahlen sind 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97. In der gesuchten Primzahlzahl a ist jede Ziffer, abgesehen von der ersten Ziffer, Endziffer einer zweistelligen Primzahl. Darum können die Ziffern von a, bis auf die erste Ziffer, nur 1, 3, 7 oder 9 sein. Lassen wir zunächst einmal die Anfangsziffer von a aus Betracht. Dann können in a nur die Primzahlen 11, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79 und 97 vorkommen.
Die Endziffer jeder Primzahl in a ist zugleich die Anfangsziffer der nächsten Primzahl, und umgekehrt ist auch die Anfangsziffer jeder Primzahl die Endziffer der vorhergehenden Primzahl. Die Ausnahmen davon sind die erste und die letzte Ziffer der Primzahlkette. Damit sich alle zehn Primzahlen in a unterbringen lassen, muss jede Ziffer genauso oft Anfangs- wie Endziffer sein. Nur eine Ziffer darf einmal häufiger Anfangs- als Endziffer sein. Diese ist dann die erste Ziffer der Primzahlkette. Außerdem darf eine Ziffer einmal häufiger End- als Anfangsziffer sein. Sie ist dann die letzte Ziffer der Primzahlkette.
Bei den zehn Primzahlen sind die 3 und die 7 jeweils genauso oft Anfangs- wie Endziffer, die 1 ist einmal häufiger Anfangsziffer und die 9 einmal häufiger Endziffer. Also muss die längstmögliche Primzahlkette mit 1 beginnen und mit 9 enden. Versucht man nun, die Primzahlen zu einer möglich großen Zahl zu ordnen, erhält man schnell 19 737 131 179. Kommen wir nun noch zur Anfangsziffer von a. Sie muss zu einer der Primzahlen gehören, die mit einer 2, 4, 5, 6 oder 8 beginnen. Die größte dieser Zahlen, die auf 1 endet, ist 61. Folglich lautet die gesuchte Zahl 619 737 131 179.
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