Direkt zum Inhalt

Die mehrere Winkel Halbierende

Treitz-Rätsel

Zeigen Sie bitte, wieso die Winkelhalbierende zwischen zwei Seiten eines Dreiecks auch den Winkel zwischen den Richtungen zum Höhenfußpunkt und zum Umkreismittelpunkt M halbiert.

Der Umfangswinkelsatz sagt uns, wie man zwei zueinander ähnliche Dreiecke findet.

Die gelb markierten Winkel sind Rechte (wegen Höhe bzw. wegen Thales), die grünen sind wegen des Umfangswinkelsatzes gleich, also sind die hellgrünen rechtwinkligen Dreiecke einander ähnlich, und die roten Winkel sind gleich. Da die Linie zum Inkreismittelpunkt O den Innenwinkel des Ausgangsdreiecks halbiert, sind auch die beiden hellblauen Winkel gleich.

Eine andere Variante geht so (hier gleich für alle 3 Höhen usw. gezeichnet):

Die verlängerte Höhe CD ist rechtwinklig zu ihrer Seite AB, CE ist ein Durchmesser des Umkreises, damit ist CDE ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Umkreis als Thaleskreis, und DE ist parallel zu AB. Damit liegen aber auch AD und EB symmetrisch auf dem Bogen AB des Umkreises, und nach dem Umfangswinkelsatz sind die zugehörigen Winkel ACD und ECB gleich. Das Ganze gilt für die anderen beiden Bögen ebenso.

Diese Variante lehnt sich stärker an das allgemeine Rezept zum zeichnerischen Auffinden eines isogonalen Bildpunktes an. Wir sehen auf jeden Fall: H und U sind zueinander isogonal konjugiert.

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.