Hemmes mathematische Rätsel: Die Mitte zwischen den Go-Steinen
David Wells wurde 1940 in England geboren. Er studierte Mathematik an der Universität Cambridge, brach aber sein Studium ab und ließ sich danach zum Lehrer ausbilden. Er hat zahlreiche Knobeleien erfunden und betreute in den Siebzigerjahren die Denksportredaktion der Zeitschrift Games and Puzzles. Wells hat etliche Bücher zur Unterhaltungsmathematik geschrieben, die zum Teil auch auf Deutsch erhältlich sind. Das heutige Rätsel stammt aus seinem 1992 erschienenem Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles.
Ein Go-Brett hat neunzehn vertikale und neunzehn horizontale Linien, die alle den gleichen Abstand voneinander haben. Beim Spiel werden die Steine auf die Kreuzungspunkte der Linien gelegt. Versuchen Sie, fünf Go-Steine so auf ein Go-Brett zu legen, dass keiner der Mittelpunkte der zehn Verbindungslinien zwischen den Steinen auf einen Kreuzungspunkt des Brettes fällt.
Das Beispiel mit drei Steinen erfüllt die Bedingungen nicht. Von den drei Mittelpunkten der Verbindungslinien – dargestellt durch die weißen Punkte – fällt einer auf eine Linienkreuzung.
Wir färben die vertikalen und die horizontalen Linien des Go-Bretts immer abwechselnd rot (R) und grün (G).
Zunächst einmal betrachten wir nur die vertikalen Linien. Der Mittelpunkt der Verbindungslinie zwischen zwei Steinen fällt immer dann auf eine vertikale Linie, wenn die Steinlinien die gleiche Farbe haben. Die linke Skizze zeigt ein Beispiel. Sind die Steinlinienfarben jedoch verschieden, wie beispielsweise in der rechten Skizze, so liegt der Mittelpunkt der Verbindungslinie genau zwischen zwei vertikalen Linien. Für die horizontalen Linien gilt Entsprechendes.
Damit der Mittelpunkt der Verbindungslinie auf eine Kreuzung von zwei Linien fällt, muss also für die beiden Steine gelten, dass sowohl die Farben ihrer vertikalen als auch ihrer horizontalen Linien jeweils gleich sind. Für die Positionsfarben eines Steines gibt es nur die vier Möglichkeiten RR, RG, GR und GG. Setzt man nun fünf Steine auf das Go-Brett, so muss es wenigstens zwei geben, die die gleichen Positionsfarben haben. Folglich liegt bei diesem Paar der Mittelpunkt ihrer Verbindungslinie auf einer Kreuzung zweier Linien. Dies bedeutet, es gibt bei fünf Steinen immer mindestens eine Verbindungslinie, deren Mittelpunkt auf einer Linienkreuzung liegt, und damit ist die ursprüngliche Aufgabe unlösbar.
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