Hemmes mathematische Rätsel: Die Schnittpunkte des Elfecks
Eugene B. Dynkin (1924–2014) war jüdischer Abstammung und studierte in Moskau Mathematik. Nach Stalins Tod bekam er sogar eine Professur. Wegen ständiger politischer Probleme und nachdem seine einzige Tochter bereits nach Israel ausgewandert war, emigrierte Dynkin 1976 in die USA. 1965 veröffentlichte Dynkin gemeinsam mit S. A. Molchanov, A. L. Rozental und A. K. Tolpygo ein Buch mit Problemen der Unterhaltungsmathematik, das 1969 ins Englische übersetzt wurde und unter dem Titel »Mathematical Problems: An Anthology« erschien. Daraus stammt das heutige Rätsel.
Eine geschlossene elfeckige Kurve besteht aus elf aneinander gehängten Geradenstücken, bei der das Ende des letzten mit dem Anfang des ersten verbunden ist. Die Geraden können sich schneiden, aber es dürfen keine Geraden genau aufeinander fallen. Wie viele Schnittpunkte kann eine solche Kurve maximal haben?
Kein Abschnitt der Kurve kann sich selbst oder seine beiden Nachbarabschnitte schneiden. Das bedeutet, jeder der elf Abschnitte kann höchstens acht andere Geradenstücke kreuzen. Insgesamt kann die Kurve also maximal 11 · 8/2 = 44 Schnittpunkte haben.
Die Division durch 2 in dem Ausdruck ist deshalb nötig, weil sonst jeder Abschnitt doppelt gezählt würde, einmal als schneidende und einmal als geschnittene Gerade. Diese Maximalzahl lässt sich tatsächlich erreichen, wie man an der sternförmigen Kurve durch Abzählen leicht überprüfen kann.
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