Hemmes mathematische Rätsel: Die Teilbarkeit des Kärtchenprodukts
1978 wurde der »Australian Mathematics Competition« ins Leben gerufen, an dem sich schon wenige Jahre später Schüler aus 13 Staaten der Südpazifik-Region beteiligten. Zwei französische Mathematiklehrer waren davon so angetan, dass sie den Wettbewerb 1991 nach Frankreich holten und ihn zu Ehren der australischen Erfinder »Kangourou des Mathématiques« tauften. 1994 wurde der internationale Verein »Kangourou sans frontières« mit Sitz in Paris gegründet, um die internationale Koordinierung und die Vorbereitung der Aufgaben zu organisieren. Seit 1995 beteiligen sich auch deutsche Schülerinnen und Schüler am Känguruwettbewerb. Im ersten Jahr waren es nur 184 Teilnehmer, aber die Zahl stieg schnell an. 2019 gab es schon 968 000 Teilnehmer aus dem gesamten Bundesgebiet. Weltweit waren es sogar 6 Millionen Schülerinnen und Schüler.
Eine leicht abgewandelte Känguru-Aufgabe aus dem Jahr 2004 lautet: In einem undurchsichtigen Umschlag stecken 100 Kärtchen, die von 1 bis 100 durchnummeriert und anschließend gemischt worden sind. Wie viele Kärtchen muss man mindestens aus dem Umschlag herausnehmen, um sicher zu sein, dass das Produkt der Zahlen auf den entnommenen Kärtchen durch 6 oder durch 7 teilbar ist?
Das Produkt der gezogenen Kärtchenzahlen ist durch 7 teilbar, wenn die Nummer wenigstens eines Kärtchens ein Vielfaches von 7 ist, und es ist durch 6 teilbar, wenn mindestens eine Kärtchennummer ein Vielfaches von 2 und mindestens eine ein Vielfaches von 3 ist.
Zwischen 1 und 100 gibt es 14 Zahlen, die durch 7 teilbar sind und 33 Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Vier Zahlen sind sogar sowohl durch 3 als auch durch 7 teilbar.
In dem Intervall gibt es also 14 + 33 − 4 = 43 Zahlen, die ein Vielfaches von 3 oder 7 sind. Folglich kann es passieren, dass man 57 Kärtchen aus dem Umschlag zieht, ohne dass eines davon durch 3 oder 7 teilbar ist.
Erst beim 58. Kärtchen hat man hierfür die Sicherheit. Damit eine Zahl nicht nur durch 3, sondern auch durch 6 teilbar ist, muss auch der Teiler 2 vorkommen. Dies ist aber 58 Kärtchen garantiert, denn es gibt nur 50 ungerade Zahlen in dem Intervall.
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