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Hemmes mathematische Rätsel: Die Teiler der Milliarde

Wie viele Teiler hat eine Milliarde?
Schwarze Zahlen auf weißem Hintergrund

Primzahlen haben jeweils nur zwei Teiler, nämlich die 1 und sich selbst. Alle anderen natürlichen Zahlen sind durch mehr Zahlen teilbar, etwa die 12, deren Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12 sind. 5040 hat sogar 60 Teiler, weshalb der griechische Philosoph Platon sie in seinem Buch »Der Staat« für die ideale Einwohnerzahl einer Stadt hielt.

2007 fragte Bernhard Prümmer aus Aachen die Leser und Leserinnen der Aachener Nachrichten und der Aachener Zeitung, wie viele Teiler die Zahl 1 000 000 000 habe.

Zerlegt man eine Milliarde in ein Produkt aus lauter Primzahlen, so erhält man 1000000000 = 109 = (2 · 5)9 = 29 · 59.

Alle Teiler von einer Milliarde sind aus diesen Primfaktoren zusammengesetzt. Bei einem Teiler kann also sowohl die 2 als auch die 5 jeweils null- bis neunmal auftreten. Insgesamt gibt es somit 10 · 10 = 100 verschiedene Teiler.

Sie lauten 20 · 50 = 1, 21 · 50 = 2, 22 · 50 = 4, …, 29 · 50 = 512, 20 · 51 = 5, 21 · 51 = 10, …, 29 · 51 = 2560, 20 · 52 = 25, …, 29 · 59 = 1000000000.

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