Hemmes mathematische Rätsel: Dürers Melancholie
Der wahrscheinlich bekannteste Kupferstich der Welt ist die Melencolia I von Albrecht Dürer. Auf der Grafik, die etwa die Größe eines A3-Blattes hat, sitzt eine nachdenklich dreinblickende, geflügelte Dame zwischen verschiedenen wissenschaftlichen Geräten und Modellen. An der Wand über ihr hängt ein magisches Quadrat mit sechzehn Feldern. Magische Quadrate tauchten in Europa erst in der Renaissance auf, obwohl man sie in China und im Orient schon viele Jahrhunderte zuvor kannte. Dürers Quadrat war eines der ersten nördlich der Alpen.
In einem 16-feldigen magischen Quadrat sind die Zahlen von 1 bis 16 so verteilt, dass die Summe in jeder Spalte, in jeder Zeile und in den beiden Diagonalen gleich ist. Die beiden mittleren Zahlen in der untersten Zeile des Melancholiequadrates geben das Herstellungsdatum des Stichs an, nämlich 1514. Viele Kunstexperten glauben, Dürers Quadrat sei die einzige Möglichkeit dazu. Das ist aber falsch. Es gibt insgesamt 32 sechzehnfeldige magische Quadrate, die in der Mitte der untersten Zeile 1514 stehen haben. Selbst wenn man noch eine beliebige dritte Zahl vorgeben würde, gäbe es immer noch mehrere mögliche Quadrate.
Wie viele magische Quadrate gibt es, bei denen in der Mitte der untersten Zeile 1514 steht und in der zweiten Zeile als zweite Zahl eine 12?
Die Zahlen von 1 bis 16 ergeben zusammen 136. Da sie sich in dem magischen Quadrat auf vier Zeilen verteilen, muss die Summe in jeder Reihe 34 betragen. Folglich können auf den beiden freien Feldern der untersten Zeile nur noch die Zahlen (1, 4) oder (2, 3) in beliebiger Reihenfolge stehen.
Auf die freien Felder der zweiten Spalte dürfen im ersten Fall nur (2, 5) und im zweiten nur (1, 6) gesetzt werden.
Betrachten wir nun die Diagonale, die von oben rechts nach unten links verläuft. Da die Summe der beiden unteren Zahlen 3, 4, 6, 8 oder 9 beträgt, müssen die beiden oberen zusammen 31, 30, 28, 26 oder 25 ergeben. Drei der hohen Zahlen sind schon verbraucht, und bleiben für diese Diagonale nur noch die Kombinationen (4, 5, 9, 16), (3, 6, 9, 16) und (2, 6 10, 16) übrig.
Die 16 muss auf dem Eckfeld stehen, denn wenn sie in der zweiten Zeile stünde, müsste man auf die noch freien Felder dieser Zeile entweder (1, 5) oder (2, 4) setzen, was aber beides nicht mehr möglich ist. Aus der ersten Diagonalenkombination ergeben sich für die beiden freien Felder der dritten Spalte die Zahlen (3, 8) und für die zweite Kombination (4, 7).
Für die dritte Kombination lassen sich keine freien Zahlen mehr finden; sie scheidet also aus. Der Rest ist nun einfach, und man findet drei verschiedene Lösungen.
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