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Rätseln mit Eder: Entspricht Jovans Behauptung der Wahrheit?

Ist der Umfang des Dreiecks doppelt so groß wie der Radius des Inkreises?
Ein Mann steht seinem Schatten gegenüber, auf dem er eine lange Nase hat und wirkt verwundert

Jovan hat in das Quadrat den Inkreis gezeichnet.

Er behauptet: »Der Umfang des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks AEF ist doppelt so groß wie der Radius r des Inkreises, wenn die Strecke von E nach F den Kreis in genau einem Punkt P berührt!«

Stimmt diese Behauptung?

Jovans Behauptung stimmt.

Es muss bewiesen werden, dass der Umfang u des blauen Dreiecks doppelt so groß ist wie der Radius r des Kreises: u = 2r.

Die Seitenlänge des Quadrats ist so lang wie der Durchmesser d des Inkreises: d = 2r.

Die Diagonale von M nach A des Quadrats MH1AH2 durch den Punkt P verläuft senkrecht zur Strecke von E nach F.

Verbindet man den Mittelpunkt M mit den Punkten H1, E, F und H2, dann entstehen vier gleich große rechtwinklige Dreiecke. Die kleineren Katheten dieser Dreiecke haben dieselbe Länge x.

Das blaue Dreieck hat die Seitenlängen (r – x), (r – x) und 2x.

Damit lässt sich beweisen, dass der Umfang u doppelt so groß ist wie der Radius des Kreises:

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