Hemmes mathematische Rätsel: Falschgeld
Mathematikwettbewerbe für Kinder und Jugendliche haben in Russland eine lange Tradition, die weit in die Zeit der Sowjetunion zurückreicht. Die Kinder werden in Mathematikzirkeln, die es in jeder größeren Stadt gibt, für die Teilnahme an diesen Wettbewerben systematisch trainiert. Hierfür gibt es eine riesige Zahl von Mathematikaufgaben, die als Problemsammlungen herausgegeben werden. Eine davon haben Sergei Aleksandrovich Genkin, Dmitrii Vladimirovich Fomin und Ilia Itenberg zusammengestellt. Sie wurde 1996 auch ins Englische übersetzt und 1996 unter dem Titel »Mathematical Circles (Russian Experience)« veröffentlicht. Das folgende Rätsel stammt aus diesem Buch.
Die frensländische Währung ist der Frens. Die Ein-Frens-Münze hat ein ganzzahliges Gewicht in Gramm. Aus einem Urlaub in Frensland haben Sie 101 Ein-Frens-Münzen mit nach Hause gebracht. Leider sind davon 50 Münzen gefälscht. Sie haben zwar auch alle das gleiche Gewicht, allerdings weicht es bei einer falschen Münze von dem einer echten um genau ein Gramm ab. Sie nehmen jetzt willkürlich eine der 101 Münzen und wollen mit einer einzigen Wägung feststellen, ob die Münze echt oder falsch ist. Dazu steht Ihnen eine digitale Vergleichswaage zur Verfügung. Diese Waage hat zwei Schalen und zeigt auf ihrer Skala die genaue Gewichtsdifferenz des Wägeguts auf den beiden Schalen an. Wie können Sie dieses Problem lösen?
Wiegt eine echte Münze N Gramm, dann hat eine gefälschte Münze ein Gewicht von M Gramm. Um festzustellen, ob die Münze, die Sie ausgewählt haben, falsch oder echt ist, legen Sie sie auf die eine Waagschale. Auf die andere Waagschale packen sie die restlichen 100 Münzen.
Wenn die ausgewählte Münze falsch ist, zeigt die Waage eine Gewichtsdifferenz zwischen den Schalen von 51N + 49M − M Gramm an. Dies kann man zu 51N + 48M vereinfachen. Da M = N ± 1 ist, wird daraus 51N + 48(N ± 1) = 51N + 48N ± 48 = 99N ± 48 = 3(33N ± 16). Die Gewichtsdifferenz ist also unabhängig von der Größe von N durch 3 teilbar.
Ist die gewählte Münze hingegen echt, zeigt die Waage eine Gewichtsdifferenz von 50N − 50M Gramm an, was sich zu 99N ± 50 umformen lässt. Diese Zahl ist nicht durch 3 teilbar. Ist die Gewichtdifferenz also ein Vielfaches von 3 Gramm, ist die Münze gefälscht, ansonsten ist sie echt.
Alternative Lösung von Andreas Meyer:
Zuerst legt man alle anderen Münzen auf eine Waagschale und misst das Gewicht gegen die leere Schale. Wenn die gewählte Münze echt ist, dann liegen jetzt 50 echte und 50 falsche auf der Waagschale und damit ist das Ergebnis durch 50 teilbar – im anderen Fall nicht.
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