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Hemmes mathematische Rätsel: Geometrie in Russland und den USA

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 Zoll lang. Die Höhe des Dreiecks, gemessen von der Hypotenuse, beträgt 6 Zoll. Berechne die Fläche des Dreiecks.
Schulunterricht

Der russische Mathematiker Wladimir Igorewitsch Arnold wurde 1937 in Odessa in der Ukraine geboren. Ab 1954 studierte er in Moskau. Bereits 1956, noch als Vordiplomstudent, hatte er einen großen Erfolg. Es gelang ihm als erster, das berühmte 13. Hilbert-Problem zu lösen. Von 1965 bis 1986 war er Professor an der Staatlichen Universität Moskau, seit 1986 am Steklow-Institut für Mathematik in Moskau und gleichzeitig seit 1993 an der Universität Paris 9. 1982 erhielt er zusammen mit Louis Nirenberg den mit 400 000 schwedischen Kronen dotierten Crafoord-Preis für seine außergewöhnlichen Leistungen in der Theorie nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Arnold starb 2010 in Paris.

Im Frühjahr 2004 wurde Arnold von in Paris lebenden Russen gebeten, ihre Kinder in einer Kultur des Denkens zu unterstützen, so wie sie in Russland Tradition hatte. Daraufhin stellte er eine Sammlung von 77 mathematischen Denksportaufgaben für fünf- bis fünfzehnjährige Kinder zusammen. Das heutige Rätsel ist die sechste dieses Buches.

Eine Frage in einem US-amerikanischen Standardtest lautet: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 Zoll lang. Die Höhe des Dreiecks, gemessen von der Hypotenuse, beträgt 6 Zoll. Berechne die Fläche des Dreiecks. Schüler in den USA hatten über ein Jahrzehnt lang mit dieser Aufgabe kein Problem. Sie erhielten (fast) alle eine Fläche von 30 Quadratzoll. Als aber russische Schüler das Problem lösen sollten, gelang es keinem. Warum?

Die amerikanischen Schüler versuchten die Aufgabe mit der Formel »Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2« zu lösen. Die Formel lieferte auch tatsächlich einen Flächeninhalt von 30 Quadratzoll. Ihnen war jedoch nicht aufgefallen, dass es gar kein rechtwinkliges Dreieck geben kann, das bei einer 10 Zoll langen Hypotenuse eine 6 Zoll lange Hypotenusenhöhe besitzt. Dies hatten aber die russischen Schüler bemerkt. Weil die Aufgabe fehlerhaft war, konnten sie sie nicht lösen. Am Thaleskreis kann man übrigens leicht erkennen, dass die Hypotenusenhöhe eines rechtwinkligen Dreiecks nur bei gleich langen Katheten (rot) der halben Hypotenusenlänge entspricht und in allen andern Fällen (blau) kürzer ist.

Geometrie in Russland und Amerika

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