Größte Ellipse im Dreieck
An welchen Stellen berührt die größte Ellipse, die in ein allgemeines Dreieck eingepasst werden kann, dessen Seiten? Welcher Teil des Dreiecksvolumens liegt im Innern der Ellipse? Ist das größte Eckstück beim kleinsten oder beim größten Winkel des Dreiecks?
Jede Ellipse lässt sich durch eine affine Abbildung in einen Kreis verwandeln und jedes Dreieck in ein gleichseitiges. Bei affinen Abbildungen bleiben die Verhältnisse von Flächen und die von zueinander parallelen Strecken erhalten.
Die Antworten auf diese Fragen sind die gleichen wie für den Inkreis im gleichseitigen Dreieck, denn für Flächenverhältnisse, Schnitt- und Berührpunkte und Längenverhältnisse auf gleich gerichteten Geraden ist die affine Abbildung treu, und jedes Dreieck kann man affin in ein gleichseitiges überführen, wobei die größte einbeschriebene Ellipse in den Inkreis übergeht.
Die Berührpunkte sind die Seitenmitten, und die Flächen berechnen sich so:
Wenn \(r\) der Inkreisradius ist, so hat das gleichseitige Dreieck die Höhe \(3 r\) und die Seitenlänge \(2 \sqrt{3} r\). Das Dreieck hat also die Fläche \(3 \sqrt{3} r^2\), der Kreis natürlich \(\pi r^2\). Der Anteil des Kreises bzw. der Ellipse am Dreieck ist also 60,46 %, der Rest verteilt sich zu gleichen Teilen auf die drei Eckstücke, das gilt auch für das schiefe Dreieck mit der Ellipse.
Schreiben Sie uns!
Beitrag schreiben