Größte Mindestabstände auf der Kugel
Die 8 Mitglieder des Vereins Zwietracht haben sich so verfeindet, dass jeder von ihnen möglichst weit von jedem anderen wohnen möchte, genauer gesagt: Der kleinste Abstand zwischen je zwei von ihnen soll möglichst groß sein. Wir nehmen dabei die Erde als genau kugelförmig an und bauen auch notfalls künstliche Inseln im Ozean.
Was für ein (durch Geraden und ebene Flächen begrenzter) Körper hat die 8 Orte als Ecken? Ist es ein Würfel?
Welches Polyeder hat auch 8 Ecken, aber etwas weniger Symmetrie als der Würfel?
Wir nehmen erst einmal an, es wäre der Würfel. Natürlich liegen seine Ecken auf einer Kugel, die auf den schönen Namen Umkugel hört (er hat nämlich auch eine Inkugel).
Wir können den Würfel auch als Prisma über einem Quadrat auffassen. Wir drehen die Boden- und die Deckelfläche um 45o gegeneinander, so dass jede Ecke der einen Fläche genau zwischen zwei Ecken der anderen Fläche zu liegen kommt. Dann wird jede der quadratischen (oder allgemeiner rechteckigen) Seitenwände durch zwei gleichschenklige Dreiecke ersetzt.
Statt des Quadrats kann man ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten für Grund- und Deckelfläche nehmen. Dann ist die eine Fläche gegen die andere um den halben Winkel zwischen zwei Ecken (vom Mittelpunkt aus gesehen) zu verdrehen. In jedem Fall gibt es ein so genanntes Antiprisma. Prismen und Antiprismen erfüllen die Bedingungen für archimedische Körper, werden aber im Allgemeinen nicht dazugezählt – vielleicht weil es unendlich viele sind.
Bei einem Antiprisma sind die Kanten an den Seiten nun nicht mehr senkrecht, sondern laufen im Zickzack schräg auf und ab. Wenn die Höhe zwischen Grundfläche und Deckel unverändert geblieben ist, sind diese Kanten also länger als die Seiten der Grundfläche.
Nun kommt der Trick: Wir machen diese Höhe gerade so viel kleiner, dass die Kanten zwischen den Seitenwänden genau so lang werden wie die Seiten von Grund- oder Deckelfläche (also kürzer).
Nun sieht man sofort, dass der Umkugel-Radius durch diese Annäherung von Deckel und Grundfläche kleiner geworden ist, ohne dass wir dazu rechnen müssten. Bei gleichem Umkugel-Radius hat das 4-zählige (also 8-eckige) Antiprisma mit gleich langen Kanten also längere Kanten als ein Würfel.
Üblicherweise heißt dieser Körper "vierseitiges Antiprisma"; aber ich finde diese Bezeichnung missverständlich, denn er hat ja außer den 8 Ecken und 16 Kanten immerhin 10 Flächen, nämlich 2 Quadrate und 8 geichseitige Dreiecke.
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