Rätseln mit Eder: Handelt es sich hierbei nur um einen Zufall?
Bei der Suche nach natürlichen Zahlen, die ohne Rest durch 7 teilbar sind, hat Marie die folgende überraschende Entdeckung gemacht:
Schreibt man eine zweistellige Zahl zweimal hintereinander und fügt dazwischen eine 0 ein, dann ist diese Zahl ohne Rest durch 7 teilbar.
Beispiele: 34 034 : 7 = 4862 61 061 : 7 = 8723
Marie hat es an sehr vielen Beispielen ausprobiert.
Gilt das wirklich für jede zweistellige Zahl?
Diese Regel gilt tatsächlich für alle zweistelligen Zahlen.
Die zweistellige Zahl ab hat in der Dezimalschreibweise die Darstellung 10a + b.
Für die erweiterte Zahl ab0ab gilt:
10 000a + 1000b + 10a + b
= 10 010a + 1001b
= 1001 · (10a + b)
= 7 · 11 · 13 · (10a + b)
Aus der Summe lässt sich das Produkt mit dem Faktor 7 bilden.
Daraus folgt, dass die Zahl ab0ab stets ohne Rest durch 7 teilbar ist.
Aber nicht nur das: Sie ist auch immer durch 11 bzw. 13 teilbar.
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