Hemmes mathematische Rätsel: Hühnerpreise
Alexander Witting (1861–1946) gab gemeinsam mit Walter Lietzmann ab 1912 die Mathematisch-Physikalische Bibliothek heraus, eine sehr preiswerte und beliebte Taschenbuchreihe. In der »Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht« veröffentliche er 1910 folgende Aufgabe:
Vor vielen Jahren gingen drei Bauern in eine nahe gelegene Kleinstadt, um auf dem Markt ihre Hühner zu verkaufen. Der erste Bauer hatte 30 Hühner, die er zu einem Preis von einer Mark je zwei Hühner verkaufte. Er erhielt also insgesamt 15 Mark.
Der zweite Bauer verkaufte auch 30 Hühner, er erhielt jedoch nur für jeweils drei Hühner eine Mark und bekam somit insgesamt 10 Mark.
Der dritte Bauer hatte 60 Hühner, also so viele Hühner wie die beiden anderen Bauern zusammen, und er wollte auch beim Verkauf die Gesamtsumme von 25 Mark erzielen. Darum bildete er einen mittleren Preis aus den Verkäufen der beiden anderen Bauern und verkaufte je fünf seiner Hühner zum Preis von zwei Mark. Als er am Abend sein Geld zählte, stellte er fest, dass er nur 24 Mark eingenommen hatte. Wo war die fehlende Mark geblieben?
Der erste Bauer hatte 30 Hühner zum Preis von einer halben Mark und der zweite Bauer 30 Hühner zum Preis von einer drittel Mark pro Tier verkauft. Der Durchschnittspreis pro Huhn betrug also (30/2 + 30/3)/60 = 5/12 = 0,4166… Mark.
Hätte der dritte Bauer seine Hühner zum tatsächlichen Durchschnittspreis verkauft, hätte er am Abend 25 Mark in seiner Kasse gehabt. Stattdessen nahm er jedoch nur 2/5 = 0,4 Mark pro Huhn und erhielt somit nur 24 Mark für die 60 Hühner.
Wo liegt nun der eigentliche Denkfehler in der Aufgabe? Er liegt darin, dass man bei der Durchschnittsbildung nicht auf ein einzelnes Huhn zurückgegangen ist, sondern Paare und Trios von Hühnern betrachtet hat. Das Paar Hühner kostet beim ersten Bauern eine Mark und das Trio von Hühnern beim zweiten Bauern auch eine Mark.
Es stimmt zwar, dass fünf Hühner zwei Mark kosten, wenn man ein Paar beim ersten Bauern und ein Trio beim zweiten Bauern kauft, trotzdem ist der Durchschnittspreis nicht 2/5 Mark pro Huhn, denn der erste Bauer kann 15 Paare verkaufen, der zweite Bauer aber nur 10 Trios. Die fünf zusätzlichen Paare der teuren Hühner treiben den daher Durchschnittspreis in die Höhe.
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