Hemmes mathematische Rätsel: In welcher Basis wird die Rechnung durchgeführt?
1995 veröffentlichten V. Dubrovsky und A. Shvetsov in der Zeitschrift »Quantum« eine Alphametik mit diesen beiden Städtenamen. Jeder Buchstabe der Addition steht für eine Ziffer. Gleiche Buchstaben stehen für gleiche Ziffern und verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern.
Allerdings sind KIOTO und TOKIO keine Zahlen des Dezimalsystems, sondern eines Systems mit einer anderen Basis. Wie groß ist diese Basis, wenn die Rechnung korrekt ist? Keine Zahl darf mit einer Null beginnen.
Wenn n die Basis des Zahlensystems ist, gilt für die fünfte Spalte 3O = mn + O oder 2O = mn. Da O < n ist, kann m nur 0 oder 1 sein.
Falls m = 1 ist, muss O = n/2 sein. Für die dritte Spalte folgt daraus 3n/2 + Übertrag = n + K oder K > n/2. Da die erste Spalte aber ergibt, dass K < n/3 ist, kann m nicht 1 sein.
Folglich ist m = 0 und damit auch O = 0. In der dritten Spalte ist somit K nur der Übertrag aus der vierten Spalte, was zur Gleichung 3T = Kn + I führt. Aus der ersten und zweiten Spalte erhält man die Gleichungen 3K + ü = T und 3I = ün, wobei ü der Übertrag aus der zweiten in die erste Spalte ist.
Multipliziert man die erste der drei Gleichungen mit 3 und setzt dann dort die zweite und dritte Gleichung ein, erhält man 9T = (T − ü)n + ün, was sich zu n = 9 vereinfachen lässt.
Das Zahlensystem hat somit die Basis 9. Die Alphametik selbst hat vier verschiedene Lösungen, die sich nun leicht finden lassen: 39 · 130409 = 401309, 39 · 160509 = 501609, 39 · 230709 = 702309 und 39 · 260809 = 802609.
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