Die letzte Ziffer einer ISBN-10 berechnet sich folgendermaßen: Von den neun Ziffern, die der Reihe nach Auskunft über die Ländergruppe, den Verlag und das einzelne Produkt des Verlags Auskunft geben, multipliziert man jede Ziffer mit der Nummer ihrer Position (von links 1 bis 9 rechts) und addiert die Produkte auf. Dieses Ergebnis teilt man anschließend durch 11, der Rest der Division ist dann die Prüfziffer. Angelehnt an die römischen Zahlen entspricht X dem Fall, dass der Rest 10 ist. Welche Eingabefehler sind durch dieses Vorgehen erkennbar?

Eine einzelne falsch eingegebene Ziffer wird erkannt, aber auch die Vertauschung von zwei Ziffern, was ja speziell bei Menschen mit deutscher Muttersprache leicht vorkommt.

Aber warum dividiert man zur Ermittlung der Prüfziffer nicht einfach durch 10 statt 11, so dass nur die Reste 0 bis 9 herauskommen können? Weil mit der Elferregel das Nachprüfen einfacher zu programmieren ist. Man bildet die Produkte Ziffer mal Positionsnummer nicht nur über neun, sondern über alle 10 Stellen (X bedeutet wieder 10) und berechnet den Rest bei der Division durch 11. Dann muss 0 herauskommen. Denn modulo 11 ist 10 dasselbe wie –1; wenn also die Prüfziffer richtig berechnet wurde, geht die Division auf.

Die aktuelle 13-stellige Standardbuchnummer (ISBN-13) ist schlichter konstruiert. Man multipliziert die Ziffern abwechselnd mit 1 und mit 3 (was immerhin gegen Zahlendreher hilft) und berechnet dann (im Wesentlichen) den Rest bezüglich der Division durch 10. Daher kann die Prüfziffer nur die Werte 0 bis 9 annehmen.

Kommentar von Friedrich Gebhardt:

Die Division durch 11 hat noch einen viel wichtigeren Grund: 11 ist die kleinste Primzahl >10. Wenn man bei Verwendung des Zehnerrestes in der 5. Position eine Ziffer durch eine andere modulo 2 gleiche Ziffer ersetzt (z. B. 1 durch 7 oder 8 durch 6) oder in einer geraden Position eine durch die modulo 5 gleiche, dann ergibt sich am Ende der gleiche Rest. Ebenso findet man bei Vertauschung von zwei beliebigen Ziffern (z. B. ...618... durch ...816...) bei der alten ISBN den Fehler, bei der neuen nicht (wenn nicht eine Ziffer in einer geraden und die andere in einer ungeraden Position steht).