Hemmes mathematische Rätsel: Kann der Würfel eine komplett rote Oberfläche haben?
Der russische Mathematiker Alexander Shapovalov wurde 1955 geboren. Er studierte in Moskau und lebt seit 1995 in Stockholm in Schweden. Shapovalov hat acht Bücher über Unterhaltungsmathematik und über mathematischen Denksport geschrieben. Leider ist keines davon bisher auf Deutsch erschienen. Er arbeitet seit vielen Jahren in der Organisation und in der Jury von Mathematikwettbewerben mit. Im Jahr 2017 stellte Alexander Shapovalov den Teilnehmern und Teilnehmerinnen der Moskauer Mathematikolympiade folgende Aufgabe:
Aus acht gleich großen Würfeln mit insgesamt 32 roten und 16 blauen Seiten lässt sich ein doppelt so hoher Würfel bauen, von dessen Oberfläche genau ein Drittel rot ist. Beweisen Sie, dass sich aus diesen kleinen Würfeln auch ein doppelt so großer Würfel mit vollständig roter Oberfläche bauen ließe, oder finden Sie mindestens ein Gegenbeispiel.
Die sechs Seitenflächen des großen Würfels bestehen aus 24 Seitenflächen der kleinen Würfel. Wenn genau acht dieser kleinen Seitenflächen rot sind, müssen alle 16 blauen kleinen Seitenflächen auf der Oberfläche des großen Würfels liegen, und alle im Inneren des großen Würfels liegenden kleinen Seitenflächen müssen rot sein. Vertauscht man nun im großen Würfel die sich jeweils raumdiagonal gegenüberliegenden kleinen Würfel, ohne sie dabei zu drehen, werden ihre beim großen Würfel innen liegenden Seitenflächen zu außen liegenden und umgekehrt. Dadurch erhält man einen vollständig roten großen Würfel.
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