Klimazonen
Die Polarkreise sind jeweils 23,5° von den Polen entfernt, die Wendekreise ebenso weit vom Äquator. Sie bilden die Grenzen der tropischen, gemäßigten und polaren Klimazonen – nach der astronomischen Definition. Eigentlich geben diese Zonen und ihre Grenzen an, wo es mindestens einmal im Jahr Mitternachtssonne beziehungsweise senkrechten Sonnenstand gibt und wo keins von beiden. Das Klima wird daneben noch entscheidend von der Wasser- oder Landverteilung und den daraus entstehenden Luft- und Wasserströmungen beeinflusst.
Wie kann man einfach zeichnerisch bestimmen, welche Flächenanteile die drei astronomisch definierten Zonen an der Erdoberfläche haben? Sind die tropischen Zonen größer als die Polarzonen?
Die Flächen der Zonen verhalten sich zueinander wie die Abstände zwischen den sie begrenzenden Breitenkreisen – allerdings parallel zur Erdachse (Nordpol – Südpol) gemessen:
Die Polarzonen sind also wesentlich kleiner als die tropischen, obwohl die Spannweiten der geografischen Breiten für beide gleich sind, nämlich der Winkel zwischen Erdachse und Erdbahnachse, also 23,5°.
Auch ohne Integralrechnung kann man die Begründung anhand von Lamberts flächentreuer Zylinderkarte einsehen (siehe das Rätsel "die Vegetationskarte"):
Man zeichnet alle Breitenkreise so lang wie den Äquator, aber wählt als ihre Abstände vom Äquator nicht die Entfernung, die sie auf der Kugel von ihm haben, sondern den Abstand, den ihre Ebenen in Richtung der Erdachse von der Äquatorebene haben, also \(R \sin\phi\) mit dem Erdradius \(R\) und der geografischen Breite \(\phi\).
Ein hinreichend kleines Flächenstück auf der Kugel, das von zwei nur wenig verschiedenen Breitenkreisen und zwei ebenfalls nur wenig verschiedenen Meridianen begrenzt wird (also etwa ein Rechteck, etwas genauer ein Trapez), wird bei der Eintragung in die Lambert-Karte daher in Ost-West-Richtung um den Faktor \(\frac{1}{\sin\phi}\) zu groß und in Nord-Süd-Richtung um den umgekehrten Faktor \(\sin\phi\) zu klein abgebildet – was sich für den Flächenmaßstab ausgleicht. Es werden also alle Teile der Erde in einem gemeinsamen Flächenmaßstab abgebildet, aber die polaren Gegenden werden stark verzerrt, die äquatornahen dagegen nur wenig.
Die ganze Karte der Erde sieht dann so aus:
Die Ellipsen zeigen dabei stark vergrößert an, wie kleine Kreise verzerrt abgebildet werden – aber in diesem Falle trotzdem flächentreu. Ein Fußball sieht bei gleichem Kartenentwurf so aus:
Wenn man dagegen eine Mercator-Karte ansieht (siehe das Rätsel "Mercator"), die nicht flächentreu ist, sondern in allen hinreichend kleinen Details verzerrungsfrei ("winkeltreu"), so kommt man zu völlig falschen Vorstellungen über die Flächenverhältnisse.
Nun noch eine andere flächentreue Karte (nämlich eine azimutale, bei der alle Richtungen vom Nordpol aus "richtig" eingetragen sind):
Jetzt können Sie die folgende Frage im Kopf lösen:
Das Bild zeigt eine Kugel mit einer einzigen blauen Kappe von oben und von der Seite, orthografisch, also wie im Grenzfall einer Fotografie aus unendlicher Entfernung. Im linken Bild hat der blaue Kreis den Radius 3/5 des Gesamtkreisradius, seine Fläche bedeckt also 36% des ganzen Kreises (der gelbe Ring nimmt 64% ein). Welchen Anteil hat diese Kappe an der Oberfläche der ganzen Kugel?
Die Fläche der blauen Kappe lässt sich wie zu Anfang des Rätsels durch die Distanz zum Äquator berechnen (rechtes Bild). Mit einem geeigneten Koordinatennetz findet man ein 3-4-5-Dreieck. Letztlich sieht man, dass die blaue Kappe 1/10 der Oberfläche ausmacht:
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