Hemmes mathematische Rätsel: Können Sie diesen Bruch berechnen?
Was ergibt: (100! +99!) mal (98!+97!) mal (96!+95!) und so weiter – geteilt durch (100!-99!) mal (98!-97!) mal (96!-95!) und so weiter?
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Welchen Wert hat der Bruch
$$\frac{(100!+99!)(98!+97!)...(4!+3!)(2!+1!)}{(100!-99!)(98!-97!)...(4!-3!)(2!-1!)}?$$Da n! = n(n − 1)! ist, gilt für die Fakultätensumme n! + (n − 1)! = (n − 1)! · (n + 1) und für die Fakultätendifferenz n! − (n − 1)! = (n − 1)! · (n − 1). Nun kann man den ganzen Bruch b umschreiben und anschließend kürzen.
$$b = \frac{(99! \cdot 101 \cdot 97! \cdot 99 \cdot ... \cdot 3! \cdot 5 \cdot 1! \cdot 3)}{(99! \cdot 99 \cdot 97! \cdot 97 \cdot ... \cdot 3! \cdot 3 \cdot 1! \cdot 1)} = 101$$Anmerkung der Redaktion
Danke für die Leserzuschriften, welche auf einen Fehler bei der Lösung hingewiesen haben. Diesen haben wir inzwischen korrigiert.
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