Die Flugrouten sind Stücke von Großkreisen, das sind Kreise mit dem Kugelradius um den Kugelmittelpunkt. Jeder Großkreis halbiert die Oberfläche. Schneiden sich zwei von ihnen, so tun sie dies in zwei sich genau gegenüber liegenden Punkten der Kugel mit den gleichen Winkeln \( \alpha \) und \( \pi – \alpha \). Sie teilen die Oberfläche \( 4\pi R^2\) in insgesamt vier Zweiecke, von denen je zwei die Flächeninhalte \( 2\alpha R^2\) und \(2 (\pi-\alpha ) R^2\) haben.

Ein Kugeldreieck kann als Schnittmenge von drei Zweiecken aufgefasst werden, zu jedem seiner Winkel einem.

In diesen Bildern ist links die Parallelperspektive gezeichnet, rechts daneben eine (nur qualitativ zu verstehende) stereografische Projektion, bei der die ganze Kugel auf die unendlich große Zeichenebene abgebildet wird, zwar in sehr ungleichmäßigem Maßstab, aber dafür ohne Überlappung. Jeder darin gezeichnete Kreis halbiert die Kugelfläche, die gelbe Außenfläche stellt das (gleich große!) Gegendreieck zu dem Kugeldreieck in der Mitte dar. Auch die beiden jeweils blau oder grün oder hellbraun getönten Dreiecke sind auf der Kugel gleich groß.

Zählt man die Flächen der drei Zweiecke mit den Winkeln \( \alpha \), \( \beta \) und \( \gamma \) zusammen, so bekommt man das gefragte (gelbe) Dreieck dreimal plus drei Flächen, die es zur Halbkugel ergänzen. Nach kurzer Rechnung ergibt sich: Das Kugeldreieck mit den Winkeln \( \alpha \), \( \beta \) und \( \gamma \) hat die Fläche \(R^2 ( \alpha + \beta + \gamma – \pi ) \).

Im Falle eines fast ebenen (und daher sehr kleinen) Teils der Kugeloberfläche nähert sich das in der Tat dem Wert 0, denn die Winkelsumme im ebenen Dreieck ist \(\pi\).

Bei einem gleichseitigen Kugeldreieck mit den Winkeln \(75^\circ = 5 \pi/12 \) ist die Fläche \(R^2 \pi /4 = 1/16\) der ganzen Kugeloberfläche. Bei einem Kugeldreieck mit drei rechten Winkeln ergibt sich 1/8 der Oberfläche, wie auch ohne diese Rechnung leicht zu sehen ist.