Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Charles Wilderman Trigg wurde 1898 in Baltimore geboren. Er arbeitete zunächst als Chemiker, Ingenieur und Mathematiker in der Industrie und war von 1950 bis 1963 Professor an der University of Southern California in Los Angeles. Trigg war wohl der kreativste Erfinder von mathematischen Problemen und Rätseln des 20. Jahrhunderts. Niemand kennt die Anzahl der von ihm veröffentlichten Aufgaben genau, aber es werden vermutlich Zehntausende sein. Sein 1967 erschienenes Buch „Mathematical Quickies“ gehört zu den Standardwerken des mathematischen Denksports. Trigg starb 1989 in San Diego. 1974 stellte er im „Mathematics Magazine“ eine Sonderform der magischen Würfel vor, aus der die heutige Kopfnuss hervorgeht.
Die abgebildeten Würfel haben ein ungewöhnliches Aussehen. Der erste Würfel trägt auf allen sechs Seiten nur die Augenzahl 1, der zweite Würfel auf allen Seiten nur die Augenzahl 2 und so weiter. Bauen Sie aus diesen acht Würfeln einen Würfel mit doppelt so großer Kantenlänge, der auf allen sechs Seiten die gleiche Augensumme hat. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierzu, wenn Drehungen und Spiegelungen einer Anordnung nicht als verschieden zählen?
In dem großen Würfel sind von jedem kleinen Würfel drei Seiten sichtbar. Folglich hat der große Würfel die Gesamtaugenzahl 3 ∙ (1 + 2 + 3 + … + 8) = 108, die sich auf sechs Seiten verteilt. Die magische Konstante beträgt somit 108/6 = 18. Man kann sie durch acht verschiedene Kombinationen bilden, die sich zu vier Paaren zusammenstellen lassen, die jeweils alle Augenzahlen von 1 bis 8 enthalten.
1. (1, 2, 7, 8) und (3, 4, 5, 6)
2. (1, 3, 6, 8) und (2, 4, 5, 7)
3. (1, 4, 5, 8) und (2, 3, 6, 7)
4. (1, 4, 6, 7) und (2, 3, 5, 8)
Die beiden Kombinationen eines Paares können nur auf sich gegenüberliegenden Seiten des großen Würfels liegen. Da es aber nur sechs Seiten gibt, kann ein Paar nicht vorkommen. In jeder der jeweils ersten Kombination der ersten drei Paare kommt sowohl die 1 als auch die 8 vor. Deshalb können nicht alle drei Kombinationen zusammen Seiten des großen Würfels bilden. Folglich muss das vierte Paar auf jeden Fall auf dem großen Würfel vorkommen. Das Weglassen jedes der ersten drei Paare ergibt jeweils genau eine Lösung.
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