Hemmes mathematische Rätsel: Mathematik auf der Toilette
Mathematik kann man überall betreiben, auch auf der Toilette. Das heutige Rätsel hat sich Gottfried Igelmund aus Vossenack in der Eifel erdacht und 2007 in der Aachener Zeitung und in den Aachener Nachrichten veröffentlicht.
Auf einer gängigen Rolle Toilettenpapier befinden sich 160 Blatt von jeweils 14 Zentimetern Länge. Das Kartonröhrchen in der Mitte der Rolle hat einen Durchmesser von 4 Zentimetern, und der Durchmesser der gesamten Rolle beträgt 12 Zentimeter. Wie viele Schichten Toilettenpapier sind um das Kartonröhrchen gewickelt?
Die beiden Stirnseiten der Toilettenpapierrollen sind Kreisringe mit dem Innenradius r = 2 cm und dem Außenradius R = 6 cm. Ihre Flächeninhalte betragen somit jeweils π(R2 − r2) ≈ 100,53 cm2.
Rollt man das Toilettenpapier vollständig ab, bildet es einen Quader der Länge l = 160 · 14 cm = 2240 cm, der Breite b und der Dicke d. Die beiden Kreisringe werden von den Seitenflächen des Quaders, die jeweils eine Größe von dl haben, gebildet.
Somit sind ihre Flächeninhalte gleich groß und es gilt dl ≈ 100,53 cm2. Daraus ergibt sich eine Dicke des Toilettenpapiers von d ≈ 0,045 cm. Da das aufgewickelte Toilettenpapier eine Walze von R − r = 4 cm Stärke ist, liegen in ihr 4 cm / (0,045 cm) = 89 Lagen übereinander.
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