Hemmes mathematische Rätsel: Max und Moritz und die sieben Zahlen
Titu Andreescu wurde 1956 in Timisoara in Rumänien geboren und studierte an der Universität seiner Heimatstadt Mathematik. 1990, nach dem Zusammenbruch des Warschauer Pakts, wanderte er in die USA aus und ist heute Professor an der University of Texas in Dallas. Er organisiert Mathematikwettbewerbe und -olympiaden und hat zahlreiche Sammlungen mathematischer Probleme geschrieben und herausgegeben. Aus seinem 2007 erschienenem Buch »104 Number Theory Problems«, das er gemeinsam mit Dorin Andrica und Zuming Feng geschrieben hat, stammt das heutige Rätsel.
Max und Moritz sind perfekte Mathematiker und Logiker, die niemals einen Fehler machen. Max sagt zu Moritz: »Suche dir von den sieben Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 fünf aus und multipliziere sie miteinander. Verrate mir nicht, welche fünf Zahlen du gewählt hast, aber nenne mir ihr Produkt.« Nach wenigen Sekunden nennt Moritz das Produkt seiner fünf gewählten Zahlen. Darauf erwidert Max: »Diese Information reicht nicht aus, um zu erkennen, ob die Summe deiner fünf Zahlen gerade oder ungerade ist.« Welches Produkt hat Moritz berechnet?
Es ist einfacher, die beiden Zahlen zu untersuchen, die Moritz nicht gewählt hat, als die fünf, die er gewählt hat. Kennt man die beiden nicht gewählten Zahlen, so kennt man auch die fünf gewählten. Und kann man aus dem Produkt der beiden nicht gewählten Zahlen nicht entscheiden, ob ihre Summe gerade oder ungerade ist, so gilt dies auch für das Produkt und die Summe der fünf gewählten Zahlen.
Es gibt 21 mögliche Paare nicht gewählter Zahlen.
| 1 × 2 = 2 | 2 × 3 = 6 | 3 × 7 = 21 |
| 1 × 3 = 3 | 2 × 5 = 10 | 4 × 5 = 20 |
| 1 × 4 = 4 | 2 × 6 = 12 | 4 × 6 = 24 |
| 1 × 5 = 5 | 2 × 7 = 14 | 4 × 7 = 28 |
| 1 × 6 = 6 | 3 × 4 = 12 | 5 × 6 = 30 |
| 1 × 7 = 7 | 3 × 5 = 15 | 5 × 7 = 35 |
| 2 × 3 = 6 | 3 × 6 = 18 | 6 × 7 = 42 |
Die Produkte sind, abgesehen von der 6 und der 12, alle verschieden. Aus einem Produkt, das nicht 6 oder 12 ist, kann man also eindeutig die beiden Faktoren bestimmen und somit auch eindeutig erkennen, ob ihre Summe gerade oder ungerade ist.
Da Max aber sagt, dass er nicht ermitteln könne, ob die Summe gerade oder ungerade ist, muss das Produkt 6 oder 12 sein. Bei dem Produkt 6 sind die beiden möglichen Summen der Faktoren mit 1 + 6 = 7 und 2 + 3 = 5 aber beide ungerade und damit wäre auch in diesem Fall die Parität der Summe eindeutig bestimmbar. Bei dem Produkt 12 sieht es aber anders aus. Hier ist die Summe 2 + 6 = 8 gerade und die Summe 3 + 4 = 7 ungerade. In diesem Falle kann Max nicht entscheiden, ob die Summe der Faktoren gerade oder ungerade ist. Folglich hat Moritz zwei Zahlen nicht gewählt, deren Produkt 12 ist. Das Produkt, das Moritz genannt hat, ist folglich 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 / 12 = 420.
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