Betrachten Sie schlanken Dreiecke, die (auch) von den zusätzlichen Hilfslinien gebildet werden.

Wenn Sie die Seitenlängen und die stumpfen Winkel der zwei schlanken roten Dreiecke in der Abbildung vergleichen, stellen Sie fest, dass sie kongruent und gegeneinander um 90^o verdreht sind.

Das gesuchte Dreieck ist in beiden Grafiken mit grünen Seiten eingezeichnet. Mit dem Strahlensatz beweist man, dass seine beiden kurzen Seiten parallel zu der langen Seite jeweils eines schmalen roten Dreiecks verlaufen. Denn zum Beispiel werden im linken Bild die Grundseite des ursprünglichen schwarzen Dreiecks und die Diagonale des großen angrenzenden Quadrates (auch grün eingezeichnet) von der langen Seite (violett) des schmalen roten Dreiecks geschnitten. Die grüne Dreiecksseite teilt beide Abschnitte genau in der Mitte, also muss sie zu der langen Seite des roten Dreiecks parallel sein.

Aus dem Strahlensatz folgt auch, dass beide grünen Dreiecksseiten halb so lang wie die lange Seite des roten Dreiecks und damit insbesondere gleich lang sind. Schließlich stehen sie rechtwinklig zueinander, weil die langen roten Seiten das tun.

Das Ergebnis kann man noch erweitern. Man setze Quadrate an alle Dreiecksseiten an. Den Mittelpunkt des Quadrats an der Seite AB nenne man C_r, entsprechend für die anderen Seiten. Der Index r steht dabei dafür, dass, wenn man in Gedanken das Dreieck in der durch die Buchstaben gegebenen Reihenfolge umläuft, die Quadrate stets zur Rechten ansetzt. Statt nach außen kann man die Quadrate auch nach innen ansetzen. Deren Mittelpunkte heißen dann entsprechend A_l, B_l und C_l.

Dasselbe Verfahren wendet man jetzt auf die Dreiecke A_rB_rC_r und A_lB_lC_l an. Dabei ergeben sich die Dreiecke A_rrB_rrC_rr, A_rlB_rlC_rl, A_lrB_lrC_lr und A_llB_llC_ll. Zwei davon, nämlich A_rlB_rlC_rl und A_lrB_lrC_lr sind identisch mit dem Dreieck aus den Seitenmitten von ABC.

Natürlich lässt sich der Satz von Neuberg wie zuvor für alle Fälle beweisen.

Das folgende Bild zeigt, dass man nicht mit "außen" und "innen", sondern mit "rechts" und links" argumentieren muss. Denn A_lB_lC_l hat den entgegengesetzten Umlaufssinn wie ABC. An dieses Dreieck Quadrate nach rechts anzusetzen bedeutet nach innen!

Die Beweisidee folgt Abschnitt 21 aus Ross Honsberger (More) "More morsels". Der Entdecker des Satzes war Joseph Neuberg (1840-1926).