Hemmes mathematische Rätsel: Nummerierte Karten
Bei einem sehr bekannten Rätsel sind 32 Karten mit den Zahlen von 1 bis 32 nummeriert: Wählen Sie zwei Karten davon so aus, dass das Produkt von deren Zahlen gleich der Summe der Zahlen auf den restlichen Karten ist. Das Problem ist gemeinerweise unlösbar. Einige Knobler und Knoblerinnen wollten sich damit nicht abfinden und haben lösbare Varianten entworfen. Zwei davon möchte ich heute vorstellen.
Die erste Variante stammt von Rainer Siebel von der Universität Duisburg-Essen: 26 Karten sind mit den Zahlen von 1 bis 26 nummeriert. Wählen Sie zwei Karten davon so aus, dass das Produkt von deren Zahlen gleich der Summe der Zahlen auf den restlichen Karten ist.
Die zweite Variante hat Kurt Schroeder aus Düren erdacht: 32 Karten sind mit den Zahlen von 1 bis 32 nummeriert. Wählen Sie drei Karten davon so aus, dass das Produkt von deren Zahlen gleich der Summe der Zahlen auf den restlichen Karten ist.
Wenn in der ersten Aufgabe m und n die Zahlen auf den beiden ausgewählten Karten sind, soll die Gleichung 1 + 2 + 3 + 4 + … + 26 – m – n = mn gelten. Die Summe der Zahlen von 1 bis 26 beträgt 26 · 27 / 2 = 351. Damit lässt sich die Gleichung auch als 351 = mn + m + n schreiben. Aus (m + 1)(n + 1) = mn + m + n + 1 ergibt sich für die Gleichung 352 = (m + 1)(n + 1). Im erlaubten Zahlenbereich gibt es nur das Lösungspaar 15 und 21, das die Gleichung erfüllen.
Die zweite Aufgabe ist etwas schwieriger. Sind k, m und n die der Größe nach geordneten Zahlen, soll die Gleichung 1 + 2 + 3 + … + 32 – k – m – n = kmn gelten. Addiert man die Zahlen, lässt sie sich als 528 – k – m – n = kmn schreiben. Wäre k = m = n, würde 528 – 3k = k3 oder k3 < 528 und k < 8,08… sein. Da aber k, m und n verschieden sind und k kleiner als m und n ist, kann k höchstens 7 sein. Für diese sieben Fälle kann man schnell die dazugehörigen Lösungen für m und n finden, und man erhält die Zahlentripel (1, 15, 32), (1, 21, 23), (2, 13, 19) und (7, 8, 9).
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