Oratorium
Sie wollen eine Karte für ein Oratorium kaufen, bei dem die Sänger nebeneinander in einer Reihe auf der Bühne stehen, und Sie haben die Auswahl zwischen zwei noch freien Plätzen: Einer ist an einer Seite des Saales, der andere mitten vor der Bühne, aber weiter von ihrer Mitte entfernt als der andere. Auf was für einer Kurve liegen die Plätze, von denen die Reihe der Sänger einen gleich großen Sehwinkel ausfüllt?
Viele unserer geometrischen Rätsel finden eine einfache Lösung mit dem Umfangswinkelsatz. Er kann so (im Sinne einer optischen Anwendung!) formuliert werden:
Eine Sehne in einem Kreis teilt diesen in zwei Bögen, die verschieden groß seien. Von jedem Punkt des größeren Bogens erscheint sie unter einem halb so großen Sehwinkel wie vom Mittelpunkt des Kreises aus (also überall unter dem gleichen). Von jedem Punkt des kleineren Bogens ist der Sehwinkel für die Sehne ebenfalls gleich, und zwar der Supplementwinkel des anderen (Supplementwinkel addieren sich zu 180\(^o)\).
Falls die Sehne ein Durchmesser des Kreises ist, wird der Spezialfall des Satzes traditionell nach Thales benannt.
Wie kann man den Umfangswinkelsatz einfach beweisen?
Die in der Mitte des Kreises zusammentreffenden Dreiecke mit den anderen Ecken auf dem Kreis sind allesamt gleichschenklig (warum?). Alles andere finden wir aus den Winkelsummenbilanzen der beiden Vierecke.
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