Hemmes mathematische Rätsel: Pferde, Kühe und Hühner
Louis A. Graham betreute über ein Vierteljahrhundert lang die Denksportkolumne »Private Corner for Mathematican« der Zeitschrift »Graham DIAL«. Die Zeitschrift, die schon die schon seit vielen Jahren nicht mehr erscheint, wurde in den 1940er und 50er Jahren in den USA von über 25 000 Ingenieuren bezogen. Viele Leser entwarfen für die Denksportecke originelle mathematische Rätsel, die Graham später zu den beiden Büchern »Ingenious Mathematical Problems and Methods« (1959) und »The Surprise Attack in Mathematical Problems« (1968) zusammenfasste. Das zweite Buch ist 1981 auch auf Deutsch unter dem Titel »Mathematik aus dem Hinterhalt: 52 mathematische Probleme mit überraschenden Lösungen« erschienen. In den Rätseln eingestreut sind einige Dutzend mathematische Gedichte. Hier ist eine Kostprobe:
Fiddle de dum, fiddle de dee,
A ring round the moon ist \(\pi\) times D;
But if a hole you want repaired,
You use the formula \(\pi\)r2.
Das heutige Rätsel findet man in Grahams ersten Buch und stammt von Roger Salmon aus Fullerton in Kalifornien.
Ein mathematisch versierter Bauer stellt beim Zählen seiner Tiere fest, dass die Zahlen seiner Pferde, Kühe und Hühner drei verschiedene Primzahlen sind. Außerdem fällt ihm auf, dass die Zahl der Kühe multipliziert mit der Summe aus der Anzahl der Kühe und der Pferde um 120 größer ist als die Zahl der Hühner. Wie viele Tiere jeder Art hat der Bauer?
Bezeichnet man die Zahlen der Pferde, Kühe und Hühner mit P, K und H, muss man die Gleichung K(K + P) = 120 + H lösen.
Angenommen, H wäre die einzige gerade Primzahl 2. Damit hätte die rechte Seite der Gleichung den Wert 122. Die einzige Möglichkeit, 122 in zwei Faktoren, die größer als 1 sind, zu zerlegen, ist 122 = 2 • 61. Folglich müsste dann K = 2 sein, was aber unmöglich ist, da K und H verschieden sind.
Das bedeutet, H und die rechte Seite der Gleichung sind ungerade. Da das Produkt aus zwei Zahlen nur dann ungerade ist, wenn die beiden Zahlen selbst auch ungerade sind, müssen K und K + P ungerade sein. Dies ist aber nur möglich, wenn P gerade ist. Folglich muss P = 2 sein.
Damit vereinfacht sich die Gleichung zu K(K + 2) = 120 + H oder nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen zu K2 + 2K – 120 = H.
Es hilft, zunächst die Lösung der quadratischen Gleichung K2 + 2K – 120 = 0 zu betrachten: −12 und 10. Deshalb kann man K2 + 2K – 120 auch als (K + 12)(K – 10) schreiben. Die ursprüngliche Gleichung bekommt dadurch Form (K + 12)(K – 10) = H. Da H eine Primzahl ist, muss der kleinere der beiden Faktoren den Wert 1 haben. Folglich ist K = 11.
Setzt man dies wieder in die Gleichung ein, erhält man H = 23. Der Bauer besitzt also zwei Pferde, elf Kühe und 23 Hühner.
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