Gehen Sie von einem Produkt von Primzahlen aus.

Wenn \(n\) die verlangte Länge der Lücke ist, so nennen wir \(p\) das Produkt aller Primzahlen, die nicht größer als \(n + 1\) sind. \(p + 1\) ist entweder prim oder enthält eine Primzahl, die größer als \(n\) ist, als Faktor. \(p + 2\) bis \(p + n + 1\) sind dann \(n\) aufeinander folgende Zahlen, die nicht prim sind, denn \(p\) ist durch alle Zahlen von \(2\) bis \(n + 1\) teilbar, und jede der Zahlen \(p + 2\) bis \(p + n + 1\) durch (mindestens) eine davon.

Statt \(p\) kann man auch \(n!\) nehmen, was aber unnötig große Zahlen liefert. p + 1 muss nicht prim sein, wie das Beispiel \(30031 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot1 3 + 1 = 59\cdot 509\) zeigt, aber auch hier folgen mehr als 13 teilbare Zahlen, wie man in dem Primzahlensieb sieht:

Besonders eindrucksvoll wird die Aufgabe, wenn man eine Lücke der Länge 1000 oder gar 1000000 verlangt und ohne weitere Denkarbeit auch bekommt. Ausrechnen muss man das ja nicht unbedingt.