Hemmes mathematische Rätsel: Prüfungsergebnisse
Die heutige Aufgabe ist eine Knobelei, die erstmals um 2009 in verschiedenen Denksportforen im Internet erschien.
Die Mathematikprüfung in der Klasse 10a bestand aus drei Aufgaben. 25 Schüler lösten wenigstens eine Aufgabe. Von allen Schülern, die die erste Aufgabe nicht lösten, war die Zahl derjenigen, die die zweite Aufgabe lösten, genau doppelt so groß wie die derjenigen, die die dritte Aufgabe lösten. Die Zahl derjenigen, welche ausschließlich die erste Aufgabe lösten, war um 1 größer als die Zahl derer, die sowohl die erste Aufgabe als auch wenigstens noch eine andere Aufgabe lösen konnten. Und schließlich löste die Hälfte aller Schüler, die genau eine Aufgabe lösten, nicht die erste Aufgabe. Wie viele Schüler lösten nur die zweite und dritte Aufgabe?
Jede der drei Aufgaben der Prüfung kann entweder richtig (r) oder falsch (f) sein. Folglich gibt es 23 = 8 mögliche Prüfungsergebnisse. Die Schüler der Klasse 10a lassen sich darum in die acht Gruppen rrr, rrf, rfr, rff, frr, frf, ffr und fff aufteilen, wobei der erste, der zweite und der dritte Buchstabe eines Gruppennamens sagt, wie in dieser Gruppe das Ergebnis der ersten, der zweiten und der dritten Aufgabe ist. Nun kann man die Informationen aus der Aufgabe über die Prüfung durch vier Gleichungen zusammenfassen, wobei die Gruppennamen für die Anzahlen ihre Mitglieder stehen.
rrr + rrf + rfr + rff + frr + frf + ffr = 25
frr + frf = 2(frr + ffr)
rff = rrr + rrf + rfr + 1
(rff + frfr + ffr)⁄2 = frf + ffr
Diese vier Gleichungen lassen sich zu 4frr + 9ffr = 26 zusammenfassen. Die einzigen positiven ganzen Zahlen, die diese Gleichung erfüllen, sind frr = 2 und ffr = 2. Folglich lösten genau zwei Schüler nur die zweite und dritte Aufgabe.
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