Hemmes mathematische Rätsel: Quersummen 99 und 100
Reiner Ketteniß aus Eschweiler in Nordrhein-Westfalen hat 2012 eine hübsche kleine Zahlenknobelei erdacht. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. So hat beispielweise die Quersumme von 2012 den Wert 2 + 0 + 1 + 2 = 5.
Welches ist die kleinste positive ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass sowohl sie selbst die Quersumme 99 hat wie auch ihr Doppeltes und ihr Dreifaches? Und welches ist die kleinste positive ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass sowohl sie selbst die Quersumme 100 hat wie auch ihr Doppeltes und ihr Dreifaches?
Die kleinste Zahl mit der Quersumme 99 ist die aus elf Neunen bestehende Zahl 99 999 999 999. Jede Zahl mit anderen Ziffern hätte mehr als elf Stellen und wäre darum größer. Das Doppelte und das Dreifache von 99 999 999 999 sind die Zahlen 199 999 999 998 und 299 999 999 997. Beide Zahlen haben auch die Quersumme 99. Damit ist 99 999 999 999 die gesuchte Lösung.
Angenommen, N und damit auch 2N und 3N wären Zahlen, deren Quersummen den Wert 100 hätten. 3N wäre natürlich durch 3 teilbar. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme von 3N ist jedoch 100, und 100 ist nicht durch 3 teilbar. Das ist ein Widerspruch. Folglich gibt es keine Zahl N mit der Eigenschaft, dass N, 2N und 3N die Quersumme 100 haben.
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