1) Denken Sie an Kreissektoren und Dreiecke.

1) Fläche:

Drei 60^o-Tortenstücke (Sektoren) minus zwei gleichseitige Dreiecke mit dem Radius = Seitenlänge \(r\) gibt \(\pi r^2/2 – (\sqrt{3}/2)r^2\).

2) Wie das Reuleaux-Dreieck rollt:

3)Wie die Mitte im Quadrat wandert:

Auch bei guter Präzision werden Sie zum Ergebnis kommen, dass es ein Kreis sein müsse. Der Computer meint aber, dass die Kurve ein kleines bisschen oben und unten und rechts und links abgeflacht ist. Die roten Marken zeigen die Wanderung der Mittelpunkte 4-fach vergrößert, zum Vergleich ist ein richtiger Kreis gezeichnet.

Wie kann man relativ leicht rechnerisch zeigen, dass die Mitte nicht auf einem Kreis wandert?

Das im Reuleaux-Dreieck steckende gleichseitige Dreieck und das Quadrat, in dem es herumturnt, haben die gleiche Seitenlänge. Nennen wir sie \(a\). Bekanntlich hat ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge \(a\) die Höhe \((\sqrt{3}/2) a\), die durch den Mittelpunkt in die Teile \((\sqrt{3}/3) a\) und \((\sqrt{3}/6) a\) geteilt wird.

Daraus finden wir, dass der Mittelpunkt des Reuleaux-Dreiecks nach links (oder oben oder rechts oder unten) um \((\sqrt{3}/3) -1/2)a\approx 0,07735 a\) von der Mitte des Quadrats entfernt ist (linkes Bild), aber nach links oben (oder zu einer anderen "diagonalen" Richtung) um etwas mehr, nämlich \((1/2+\sqrt{3}/6-\sqrt{2}/2) a\approx 0,0816 a\) (rechtes Bild). Ein Kreis tut so etwas nicht.

4) Reuleaux-Verallgemeinerungen:

Man kann besonders einfach von regulären Polygonen mit ungerader Eckenzahl ausgehen:

Aber es gibt auch unregelmäßige Varianten, bei denen ebenfalls die Ecken die Mittelpunkte von (gegenüber liegenden) Bogenstücken sind. Ein Brett, das auf ihnen rollt, ruckelt also nicht vertikal (wenn alles genau ist), obwohl es keinen Punkt gibt, der (wie die Mitte eines Kreises oder die Achse eines Rades) dabei auf gleicher Höhe bleibt.

Franz Reuleaux war Professor an der Technischen Hochschule Charlottenburg (heute TU Berlin).