Hemmes mathematische Rätsel: Römische und arabische Zahlen
Römische Zahlen schreibt man mit den sieben Zeichen I, V, X, L, C, D und M. In der Standardschreibweise werden die Zahlenzeichen von links nach rechts nach absteigenden Werten geordnet. Das heißt, normalerweise steht links von einem Zeichen kein kleineres Zeichen. Die Subtraktionsregel in ihrer Normalform besagt, dass die Zeichen I, X und C einem ihrer nächst oder übernächst größeren Zahlzeichen vorangestellt werden dürfen und dann ihre Zahlwerte von deren Wert abzuziehen sind. So ist beispielsweise XC = 100 – 10 = 90. In einer römischen Zahl folgen nie mehr als drei gleiche Zeichen aufeinander. Die einzige Ausnahme ist das M, von dem beliebig viele aneinandergereiht werden können. Fast alle Zahlen haben als römische Zahlen mehr Stellen als arabische Zahlen. Zwei Beispiele sind II = 2 oder MMXVIII = 2018.
Es gibt aber auch eine ganze Reihe positiver ganzer Zahlen, die in römischer Darstellung weniger Stellen haben als in arabischer, wie beispielsweise X = 10 oder CI = 101. Wie viele solche Zahlen gibt es insgesamt?
Es gibt genau fünf Zahlen, die in römischer Schreibweise einstellig, in arabischer aber mehrstellig sind. Dies sind X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 und M = 1000.
Zweistellige römische Zahlen, die in arabischer Darstellung mehr als zwei Stellen benötigen, gibt es schon deutlich mehr. Durch systematische Suche kann man leicht die 19 Zahlen CI, CV, CX, CL, CC, CD, DI, DV, DX, DL, DC, CM, MI, MV, MX, ML, MC, MD und MM finden.
Es existieren auch 31 dreistellige römische Zahlen, die die Bedingung erfüllen: MII, MIV, MVI, MIX, MXI, MXV, MXX, MXL, MLI, MLV, MLX, MXC, MCI, MCV, MCX, MCL, MCC, MCD, MDI, MDV, MDX, MDL, MDC, MCM, MMI, MMV, MMX, MML, MMC, MMD und MMM.
Ab 5000 hat jede Zahl in römischer Schreibweise allein schon mehr M als die entsprechende Zahl in arabische Darstellung Ziffern hat. Somit gibt es keine Lösungen des Problems mit vier- oder mehrstelligen römischen Zahlen. Insgesamt erfüllen also nur 55 Zahlen die Bedingungen.
Es gibt übrigens auch positive ganze Zahlen, die in römischer und in arabischer Schreibweise gleich viele Stellen haben. Die fünf kleinsten sind I = 1, V = 5, XI = 11, XV = 15 und XX = 20 und fünf größten sind MMMV = 3005, MMMX = 3010, MMML = 3050, MMMC = 3100 und MMMD = 3500. Insgesamt gibt es 144 solcher Zahlen.
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