Hemmes mathematische Rätsel: Ruß auf der Stirn
1932 schrieb Hubert Phillips in seinem Buch »The Week-End Problems Book«: Zwei Jungen klettern auf einen Schuppen. Plötzlich lösen sich einige Ziegeln, und die Jungen fallen vom Dach. Als sie wieder aufstehen, hat einer Ruß im Gesicht, während das Gesicht des anderen sauber ist. Da geht der mit dem sauberen Gesicht zu einem Bach und wäscht es sich. Warum? Der Mathematiklehrer Werner E. Buker aus Pittsburgh verbesserte die Aufgabe und veröffentlichte sie 1935 in der Zeitschrift »School Science and Mathematics« in folgender Form:
Ein König hat drei Gefangene. Eines Tages geht er in den Kerker, tippt jedem seiner Gefangenen einmal auf die Stirn und sagt dann: »Mindestens einer von euch hat jetzt einen Rußfleck. Wer mir richtig sagt, ob seine Stirn rußig ist oder nicht, den lasse ich frei.« Die Gefangenen haben keinen Spiegel und dürfen sich auch nicht unterhalten.
Im selben Jahr verallgemeinerte der Amerikaner Albert Arnold Bennett in der Zeitschrift American Mathematical Monthly das Problem noch weiter. Jetzt hat der König 100 hochintelligente Gefangene und tippt jedem auf die Stirn. Mindestens einer hat anschließend einen Rußfleck. Diesmal wird über mehrere Runden gespielt. Wenn sich nach einer Minute niemand gemeldet hat, eröffnet der König die nächste Runde und stellt die wieder die gleiche Frage. In welcher Runde melden sich die Gefangenen mit den Rußflecken?
Wenn nur ein Gefangener einen Rußflecken auf der Stirn hat, so sieht er bei seinen Leidensgefährten nur saubere Gesichter. Da es mindestens einen Rußfleck gibt, weiß er, dass seine Stirn schmutzig ist und sagt dies auch sofort in der ersten Runde.
Wenn es zwei Rußflecken gibt, meldet sich in der ersten Runde niemand, da jeder Gefangene mindestens einen Rußfleck gesehen hat. Zwei Gefangene haben je einen Flecken und alle anderen zwei Flecken gesehen. Die beiden, die nur einen Flecken sehen, wissen darum in der zweiten Runde, dass sie eine rußige Stirn haben und sagen dies auch. Und so geht es weiter.
Haben allgemein n Gefangene einen Rußfleck auf der Stirn, so hat sich in den ersten n − 1 Runden niemand gemeldet, da alle Gefangenen mindestens n − 1 Flecken sehen. In der n-ten Runde werden sich nun genau die n Gefangenen melden, die exakt n − 1 Flecken sehen, und sagen, dass ihre Stirn rußig ist.
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