(1) Eine Winkelhalbierende im Dreieck teilt eine Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.

(2) Die Seitenmitten des Dreiecks bilden ein zu ihm ähnliches Dreieck mit dem Schwerpunkt (des einen wie des anderen) als Ähnlichkeitszentrum.

Wir zeichnen das Dreieck DEF aus den Seitenmitten von ABC und zu ihm die Winkelhalbierenden. Von der zu F gehörenden Winkelhalbierenden haben D und E Abstände, die sich umgekehrt wie die Längen CE (= DF) und CD (= EF) verhalten (das folgt aus den einander ähnlichen Dreiecken FGE und FHD sowie JGE und JHD).

Die Gewichte der Seiten BC, CA und AB kann man sich (für die Schwerpunktsbestimmung) auf ihre Mittelpunkte D, E und F konzentriert denken, aber natürlich mit Beibehaltung der unterschiedlichen Gewichtsbeträge. Die Winkelhalbierende zu F ist eine Schwerelinie für die drei Seiten von ABC, das heißt, wenn man die Drahtfigur entlang dieser Linie auf einen straff gespannten Faden legt, ist sie im Gleichgewicht. Warum? Sie geht durch F, den Schwerpunkt von BC, und die Drehmomente der beiden anderen Seiten gleichen sich gerade aus, denn CA:CB = DF:EF = DH:EG.

Der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden von DEF (also die Inkreismitte dieses Dreiecks) ist also der gemeinsame Schwerpunkt P der (aus Draht zu denkenden) Seiten von ABC. Er wird als Spieker-Punkt des Dreiecks ABC bezeichnet. Die Streckung mit dem Faktor –1/2 bezüglich des gemeinsamen Flächenschwerpunkts S von ABC und DEF bildet nicht nur das große Dreieck auf das kleine ab, sondern auch deren Inkreismittelpunkte. Also liegt S auf der Strecke PO und teilt sie im Verhältnis (1/3):(2/3).

Von allen "Mittelpunkten" des Dreiecks (soll heißen: Schnittpunkten von je drei definierten Geraden) ist der Spieker-Punkt wohl derjenige, der am stärksten zu Unrecht zu wenig bekannt ist. Wie Sie sehen konnten, sind seine Konstruktion und deren Erklärung leicht und elegant.

Theodor Spieker (1823–1913) hat diese Sache ganz beiläufig 1909 in einem Lehrbuch der Geometrie erwähnt. Übrigens ist der Spieker-Punkt die Mitte des (einzigen) Kreises, der alle drei Ankreise des Deiecks rechtwinkig schneidet: