Hemmes mathematische Rätsel: Sechseck und Zwölfeck
Die heutige Aufgabe ist meine eigene kleine Erfindung. Ich habe sie erstmals in meinem Buch Mathematik zum Frühstück veröffentlicht, das 1990 in Göttingen erschienen ist.
Ein regelmäßiges Sechseck wird, ohne dass sich die Längen der Seiten ändern, soweit gestaucht, bis seine Höhe gleich seiner Seitenlänge ist. Das Sechseck ist nun zwar immer noch gleichseitig, aber nicht mehr gleichwinklig. Das gestauchte Sechseck hat einen Flächeninhalt von zehn Quadratzentimetern. Welchen Flächeninhalt hat ein regelmäßiges Zwölfeck, das die gleiche Seitenlänge wie das Sechseck hat?
Ein regelmäßiges Zwölfeck kann in sechs Quadrate und zwölf gleichseitige Dreiecke gleicher Seitenlänge zerlegt werden. Der Flächeninhalt A12 des Zwölfecks ist die Summe aus dem sechsfachen Flächeninhalt A4 des Quadrats und dem zwölffachen Flächeninhalt A3 des Dreiecks:
A12 = 6A4 + 12A3 = 6(A4 + 2A3).
Das gleichseitige, gestauchte Sechseck aus der Aufgabe setzt sich aus einem Quadrat und zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen. Darum ist sein Flächeninhalt
A6 = A4 + 2A3.
Dies wird in die Gleichung für den Flächeninhalt des Zwölfecks eingesetzt, und man erhält A12 = 6A6. Der Flächeninhalt des Zwölfecks ist also sechsmal so groß wie der des Sechsecks und beträgt somit 60 Quadratzentimeter.
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