Hemmes mathematische Rätsel: Welche fünf Zahlen sind gesucht?
Welches sind die kleinsten fünf direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
Eine dieser Zahlen ist eine Primzahl mit ungerader Quersumme.
Eine andere Zahl hat genau zwei Primfaktoren.
Eine weitere Zahl ist eine Quadratzahl.
Eine weitere Zahl ist als Dezimalzahl eine mindestens zweistellige Schnapszahl.
Eine weitere Zahl ist als Hexadezimalzahl eine mindestens zweistellige Schnapszahl.
Die Reihenfolge dieser Eigenschaften entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge der Zahlen. Eine Schnapszahl ist eine Zahl aus lauter gleichen Ziffern. Um welche fünf Zahlen handelt es sich?
Die größte n-stellige dezimale Schnapszahl ist 10n – 1 = 99…9. Daraus ergeben sich alle neun n-stelligen dezimalen Schnapszahlen zu m(10n – 1)/9, wobei m = 1, 2 … 9 ist. Entsprechend sind die n-stelligen hexadezimalen Schnapszahlen, wenn man sie in Dezimalzahlen umrechnet, m(16n – 1)/15, wobei m = 1, 2 … 15 ist. Die 15 zweistelligen hexadezimalen Schnapszahlen sind die Dezimalzahlen 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187, 204, 221, 238 und 255. Da die dezimale Schnapszahl höchstens um 4 kleiner oder größer als die hexadezimale Schnapszahl sein kann, kommen nur die fünf Paare 33 und 34, 51 und 55, 66 und 68, 85 und 88 und 221 und 222 in Frage. Die fünf Zahlen 33, 34, 35, 36 und 37, die sich aus dem ersten Paar ergeben, erfüllen alle Bedingungen, außer dass die Primzahl 37 keine ungerade Quersumme hat. Bei dem Paar 51 und 55 sind die beiden nächsten Quadratzahlen 49 und 64 zu weit entfernt. Erst aus dem dritten Zahlenpaar erhält man die gesuchte Lösung: 64 = 82, 65 = 5 · 13, 66, 67 und 68.
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