Hemmes mathematische Rätsel: Welche ist die größte Lynch-Bell-Zahl?
Das populärwissenschaftliche britische Magazin „New Scientist“ erscheint seit 1956 jede Woche. Von 1967 bis 1977 enthielt es die Kolumne „Tantalizer“ (= Peiniger) mit mathematischen und logischen Rätseln. Abgelöst wurden die „Tantalizers“ von den „Puzzles“, die zwischen Mai 1977 und Februar 1979 wöchentlich im „New Scientist“ erschienen. Ab dem 22. Februar 1979 fand man in dem Magazin eine Denksportkolumne mit dem Titel „Enigma“ (= Rätsel). Am 28. Dezember 2013 erschien das 1780. und letzte „Enigma“. Am 11. Juni 2005 stellte Richard England den Leserinnen und Lesern das folgende Rätsel:
Welches ist die größte natürliche Dezimalzahl, deren Ziffern alle verschieden sind und die außerdem durch jede ihrer Ziffern teilbar ist?
Noch im selben Jahr verallgemeinerten die beiden Chirurgen Stephen Lynch und Andrew Bell aus Brisbane in Australien Englands Rätsel und untersuchten alle natürlichen Dezimalzahlen, deren Ziffern verschieden und die durch jede ihrer Ziffern teilbar sind. Insgesamt gibt es 548 solcher Zahlen, die man den beiden Chirurgen zu Ehren Lynch-Bell-Zahlen nennt. Welches ist die größte Lynch-Bell-Zahl?
Die größte Lynch-Bell-Zahl kann höchstens zehnstellig sein und aus den Ziffern von 0 bis 9 bestehen. Die 0 scheidet aber aus, da man nicht durch 0 teilen kann. Enthält die Zahl die Ziffer 5, muss diese darum ganz am Ende stehen. Doch dann wäre die Zahl nicht durch 2, 4, 6 und 8 teilbar und somit höchstens fünfstellig. Nehmen wir aber an, dass die Zahl mehr als fünf Stellen hat, kann sie die 5 nicht enthalten. Alle Zahlen, die aus den verbleibenden acht Ziffern bestehen, haben die Quersumme 40. Sie sind somit nicht durch 3, 6 und 9 teilbar. Es muss also noch mindestens eine weitere Ziffer gestrichen werden. Um die 9 zu retten, die man dann eventuell an den Anfang der Zahl setzen kann, lassen wir die 4 fort. Nun beträgt die Quersumme der restlichen sieben Ziffern 36. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die von ihren letzten drei Stellen gebildet wird, ein Vielfaches von 8 ist. Die größte durch 8 teilbare Zahl aus den drei kleinsten Ziffern ist 312. Nun sind die beiden größten Zahlen, die man unter diesen Bedingungen bilden kann, 9 876 312 und 9 867 312. Die erste Zahl ist leider nicht durch 7 teilbar, wohl aber die zweite. Diese Zahl ist durch jede ihrer Ziffern teilbar und darum die gesuchte größte Lynch-Bell-Zahl.
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