Hemmes mathematische Rätsel: Welche Polyeder suchen wir?
Wenn ein Polyeder eine Umkugel besitzt, steckt es vollständig im Inneren dieser Kugel, und alle seine Ecken berühren die Oberfläche der Kugel. Eine Dreieckskuppel ist ein Polyeder, das eine Umkugel besitzt und von vier gleichseitigen Dreiecken, drei Quadraten und einem regelmäßigen Sechseck begrenzt wird. Sie hat die besondere Eigenschaft, dass alle ihre Kanten und der Radius ihrer Umkugel gleich lang sind. Es gibt nur noch zwei weitere Polyeder mit dieser Eigenschaft. Wie sehen sie aus?
Ein regelmäßiges Sechseck setzt sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammen. Folglich muss der Mittelpunkt der Umkugel der Dreieckskuppel im Zentrum seiner sechseckigen Fläche liegen.
Fügt man nun zwei gleiche Dreieckskuppeln mit ihren sechseckigen Flächen genau aufeinander, entsteht ein Polyeder mit einer Umkugel, deren Mittelpunkt natürlich im Zentrum der gemeinsamen sechseckigen gelben Verbindungsfläche liegt. Es sind auch alle seine Kanten und der Radius seiner Umkugel gleich lang. Für die Verbindung der beiden Dreieckskuppeln gibt es zwei Möglichkeiten: Beim Disheptaeder (links) liegen die beiden Dreieckskuppeln spiegelbildlich aufeinander und beim Kuboktaeder (rechts) wird eine der beiden Dreieckskuppeln vorher um 60° gedreht.
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