Testet man systematisch die positiven ganzen Zahlen a = 1, 2, 3, …, ob a² + (a + 1)² eine Quadratzahl ergibt, wird man bei 3 und 20 fündig: 3² + 4² = 5² und 20² + 21² = 29².

Man kann die Suche bei a = 35 abbrechen, da 35² + 36² = 2521 > 50² ist. Fleißige Leute finden viel später noch das pythagoreische Tripel (119, 120, 169). Die mühsame Suche nach weiteren Beispielen kann man mit eleganteren Methoden abkürzen. Man findet hierdurch (696, 697, 985), (4059, 4060, 5741), (23660, 23661, 33461) und so wweiter.

Die n-te Hypotenuse c_n errechnet sich dabei aus den beiden vorherigen Hypotenusen nach der Formel c_n = 6c_n–1 − c_n–2. Es gibt also unendlich viele primitive pythagoreische Tripel mit b − a = 1.

Wenn b − a = 2 ist, sind entweder a und b beide gerade oder beide ungerade. Im ersten Fall ist dann auch c gerade und folglich das Tripel (a, b, c) nicht primitiv. Auch im zweiten Fall ist c gerade und somit c² durch 4 teilbar. Teilt man die Quadrate a² und b² der beiden ungeraden Zahlen a und b durch 4, bleibt jeweils ein Divisionsrest von 1 übrig, also bei a² + b² ein Rest von 2.

Folglich gibt es keine primitiven pythagoreischen Tripel mit b − a = 2.