Die Quersumme von 31 ist 4. Darum darf das gesuchte Vielfache von 31 höchstens eine Quersumme von 3 haben. Es kann also außer beliebig vielen Nullen nur eine der Ziffern 1, 2 und 3 enthalten oder eines der Ziffernpaare (1, 1) und (1, 2) oder das Zifferntrio (1, 1, 1). Zahlen der Form 100…, 200... und 300… haben als Primfaktoren nur Zweier, Dreien und Fünfen und können darum nicht durch die Primzahl 31 teilbar sein.

Streicht man von Zahlen, die auf Nullen enden und durch 31 teilbar sind, diese Endnullen, sind die dadurch entstehenden kleineren Zahlen auch durch 31 teilbar. Probiert man nun systematisch alle Zahlen der Form 10…010…01und beginnt mit möglichst kleinen Stellenzahlen, wird man erstmals bei der achtstelligen Zahl 10 000 011 = 322 581 · 31 fündig. Untersucht man anschließend noch alle Zahlen der Form 10…01, 10…02 und 20…01 bis hin zu neunstelligen Zahlen, findet man darunter keine einzige durch 31 teilbare Zahl.

Somit ist 10 000 011 die gesuchte Lösung.