Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist das Verhältnis der beiden Flächen?
Der 1944 geborene Schweizer Mathematiker Hans Walser hat viele Jahrzehnte lang als Lehrer an Gymnasien und als Lehrbeauftragter an Universitäten unterrichtet. Er hat eine große Zahl von Aufsätzen für Fachzeitschriften und auch etwa ein Dutzend Bücher verfasst. Sein neuestes Werk wird im Sommer 2022 erscheinen und heißt »Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren«. Im Internet betreibt er eine Seite, die »Miniaturen« heißt. Von dieser Seite stammt das heutige Rätsel.
Ein Quadrat der Seitenlänge 1 wird, so wie es das Bild zeigt, durch eine Diagonale und einen Viertelkreis dreigeteilt. In der oberen rechten Ecke des Quadrats liegt ein Rechteck und auf der Diagonalen ein rechtwinkliges Dreieck. Das Rechteck und das Dreieck stoßen auf dem Kreisbogen aneinander. Wie groß kann das Verhältnis der Rechtecksfläche zur Dreiecksfläche höchstens sein?
Die Seiten des Quadrats und der Radius des Viertelkreises haben die Länge 1. Bezeichnet man die Strecken AB und EF mit x und y, hat das blaue Rechteck die Seitenlängen 1 – x und 1 – y und den Flächeninhalt (1 – x)(1 – y) = 1 – x – y + xy. Die Ecke H des roten Dreiecks ist 1 – y sowohl von der linken als auch von der oberen Seite des Quadrats entfernt. Folglich haben beide Katheten des roten Dreiecks die Länge x – (1 – y) = x + y – 1. Damit hat es eine Fläche von (x + y – 1)2/2, was sich zu (x2 + y2 + 1 + 2xy – 2x – 2y)/2 ausmultiplizieren lässt. Für das rechtwinklige Dreieck CDG gilt nach dem Satz des Pythagoras x2 + y2 = 12. Dies wird in die Flächengleichung des roten Dreiecks eingesetzt und ergibt (1 + 1 + 2xy – 2x – 2y)/2 = 1 – x – y + xy. Das blaue Rechteck und das rote Dreieck haben also unabhängig von den Werten von x und y stets den gleichen Inhalt. Ihr Flächenverhältnis beträgt somit 1.
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