Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Durchmesser?
Hartmut Müller-Sommer wurde 1949 in Neu-Hillersleben in Sachsen-Anhalt geboren. Er studierte Mathematik und Physik in Braunschweig und war bis zu seiner Pensionierung Lehrer an der Liebfrauenschule im niedersächsischen Vechta. In der Zeitschrift »Der Mathematikunterricht« veröffentlichte er 2021 ein verblüffendes Inkreisproblem.
Die Strecke AB hat die Länge 1 und ist die Grundseite eines Dreiecks. Der dritte Eckpunkt des Dreiecks darf überall in der Ebene liegen, nur nicht auf der Geraden, die durch die beiden Punkte A und B läuft. Das Bild zeigt drei mögliche Dreiecke mit der Grundseite AB und ihre Inkreise. Die Inkreismittelpunkte liegen alle in dem grau unterlegten Kreis. Würde man jedes der unendlich vielen Dreiecke mit der Grundseite AB zeichnen, welchen Durchmesser hätte dann der kleinste graue Kreis, in dem alle Inkreismittelpunkte liegen?
Je weiter sich die Ecke C von der Grundlinie AB entfernt, desto kleiner wird der Winkel γ. Im Grenzfall des unendlich großen Abstands schrumpft der Winkel γ auf 0°. Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° groß ist, beträgt in diesem Grenzfall α + β = 180°. Der Inkreismittelpunkt D ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Folglich beträgt in dem Dreieck ABD die Summe der beiden Winkel BAD = α/2 und DBA = β/2 im Grenzfall 90°, und der Winkel δ ist 90° groß. Nach dem Satz des Thales liegen alle rechtwinkligen Dreiecke, die die Grundlinie AB haben, mit der rechtwinkligen Ecke D auf einem Kreis vom Durchmesser AB. Folglich ist der kleinste Kreis, in dem alle Inkreismittelpunkte liegen, der Thaleskreis mit dem Durchmesser 1.
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