Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Umfang des Bogendreiecks?
Der United Kingdom Mathematics Trust (UKMT) ist eine Organisation, die die Mathematikausbildung britischer Kinder unterstützt. Der UKMT wurde 1996 gegründet und organisiert eine Reihe von Mathematikwettbewerben. Einige davon sind die »Junior Mathematical Challenge«, die »Intermediate Mathematical Challenge«, die »Senior Mathematical Challenge«, der Känguru-Wettbewerb und die »British Mathematical Olympiad«. Die meisten dieser Wettbewerbe gab es schon vor 1996, aber durch den UKMT wurde es möglich, sie zentral zu organisieren. 2018 gab der UKMT die Aufgabensammlung »The Ultimate Mathematical Challenge« heraus. Die heutige Kopfnuss stammt aus diesem Buch.
Drei Kreise, von denen die beiden großen jeweils einen Umfang von 1 haben und der kleine Kreis einen Umfang von √2 – 1 hat, berühren sich gegenseitig. Wie groß ist der Umfang des grünen Bogendreiecks, das die drei Kreise einschließen?
Der Umfang U eines Kreises ergibt sich aus seinem Radius r nach der Gleichung U = 2πr. Löst man sie nach dem Radius auf, erhält man r = U/(2π). Da die beiden großen Kreise jeweils den Umfang 1 haben, betragen ihre Radien R = 1/(2π), und der Radius des kleinen Kreises ist r = (√2 – 1)/(2π). Verbindet man die Mittelpunkte der drei Kreise miteinander, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Basislänge von 2R = 2/(2π) und einer Schenkellänge von R + r = 1/(2π) + (√2 – 1)/(2π) = √2/(2π). Da (√2)2 + (√2)2 = 22 beträgt, ist dieses Dreieck nicht nur gleichschenklig, sondern auch rechtwinklig. Somit sind zwei der Bögen des grünen Bogendreiecks große Achtelkreise, und der dritte Bogen ist ein kleiner Viertelkreis. Sein Umfang beträgt folglich 2πR/8 + 2πR/8 + 2πr/4 = (R + r)π/2 = √2/(2π) · π/2 = √2/4 ≈ 0,3536.
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