Hemmes mathematische Rätsel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit?
© Spektrum der Wissenschaft / Christoph Pöppe (Ausschnitt)
Die Zahl 21! = 51 090 942 171 709 440 000 hat über 60 000 Teiler. Der kleinste davon ist 1 und der größte 51 090 942 171 709 440 000. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein davon zufällig gewählter Teiler ungeradzahlig ist?
Angenommen, es gibt insgesamt n ungerade Teiler von 21!. Keiner davon kann den Primfaktor 2 enthalten. Das Produkt 21! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ 21 enthält aber den Primfaktor 2 insgesamt 18-mal. Weil in einem Teiler von 21! der Primfaktor 2 jedoch 0- bis 18-mal vorkommen kann, gibt es insgesamt 19n Teiler. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Teiler von 21! ungerade ist, n/(19n) = 1/19 ≈ 5,26 Prozent.
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