Hemmes mathematische Rätsel: Wie kann diese Jahreszahl dargestellt werden?
Helge Wilms wurde 1979 in Elmshorn geboren, ist Mathematik- und Religionslehrer und arbeitet am Ludwig-Meyn-Gymnasium in Uetersen in Schleswig-Holstein. Für seine Mathematik-Arbeitsgemeinschaften ist er immer auf der Suche nach kniffligen Denksportaufgaben. Im Januar dieses Jahres schickte er mir eine knifflige Knobelei mit der Jahreszahl 2024, die er selbst entworfen hatte.
Stellen Sie aus den vier Ziffern von 2024, also aus 2, 0, 2 und 4, die Jahreszahl 2024 dar. Es dürfen keine Ziffern fortgelassen und keine hinzugefügt werden, und die Reihenfolge der Ziffern muss, von links nach rechts gesehen, 2, 0, 2, 4 bleiben. Benutzen dürfen Sie aber beliebig viele Plus-, Minus-, Mal- und Geteiltzeichen, Klammern, Wurzeln und Logarithmusfunktionen (log). Gaußklammern, Ziffernverkettungen (zum Beispiel 202) und die Logarithmusfunktionen ln, lg und ld sind allerdings verboten.
Einen Term, der aus n ineinander verschachtelten Quadratwurzeln besteht und den innersten Radikanden 2 hat, kann man auch einfacher schreiben als
\( \sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt2}}=2^\frac{1}{2^n}. \)
Nimmt man davon den Zweierlogarithmus, wird daraus
\( {\mathrm{log}}_22^{1/2^n}=\ \frac{1}{2^n}=2^{-n}. \)
Nimmt man auch hiervon wieder den Zweierlogarithmus und ändert noch das Vorzeichen, erhält man
\( -{\mathrm{log}}_22^{-n}=n. \)
Mit diesen Zutaten lässt sich nun die Jahreszahl 2024 unter den geforderten Bedingungen darstellen.
\( -{\mathrm{log}}_{2+0}\left({\mathrm{log}}_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt4}}\right)\right)=2024. \)
Dabei sind 2025 Wurzeln ineinander verschachtelt, die hier aus Platzgründen natürlich nicht alle wiedergegeben werden können. Natürlich kann man mit n + 1 Wurzeln auch jede andere natürliche Zahl n auf diese Weise darstellen.
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