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Hemmes mathematische Rätsel: Wie lässt sich 1000 als Summe von vier Zahlen darstellen?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 1000 als Summe aus vier geraden oder aus vier ungeraden Summanden darzustellen?
Ein Haufen Pappkärtchen mit verschiedenen Ziffern und Rechensymbolen.

Der bekannte französische Rätsel- und Spieleerfinder Pierre Berloquin wurde 1939 in Tours geboren und ist eigentlich von Beruf Ingenieur. Er schrieb mehrere Dutzend Bücher über Denksportaufgaben und Spiele. Das heutige Rätsel stammt aus seinem 1981 erschienenen Buch »Le jardin du Sphinx«.

1000 kann man auf viele verschiedene Weisen als Summe von genau vier positiven geraden ganzen Zahlen darstellen, etwa als 2 + 12 + 42 + 944 = 1000. Zudem kann man 1000 auf viele unterschiedliche Arten als Summe von genau vier positiven ungeraden ganzen Zahlen schreiben, zum Beispiel als 17 + 123 + 333 + 527 = 1000.

Gibt es mit vier geraden oder mit vier ungeraden Zahlen mehr verschiedene Weisen, die 1000 darzustellen, oder sind es gleich viele Weisen? Die Reihenfolge der vier Summanden soll dabei keine Rolle spielen.

Zu jedem Quartett a, b, c und d von positiven geraden Zahlen, für das a ≤ b ≤ c ≤ d und a + b + c + d = 1000 gilt, gibt es vier positive ungerade Zahlen a − 1, b − 1, c − 1 und d + 3, deren Summe auch 1000 beträgt.

Folglich gibt es mindestens so viele Weisen, mit vier ungeraden Zahlen 1000 darzustellen wie mit vier geraden Zahlen. Es sind aber damit noch nicht alle möglichen Quartette ungerader Zahlen erfasst. Die Zahl d + 3 ist größer als c − 1, aber es gibt auch Quartette, bei denen die beiden größten Zahlen gleich groß sind, wie beispielsweise bei 1 + 5 + 497 + 497 = 1000. Selbst Quartette mit drei gleichen größten Zahlen sind möglich, z. B. 1 + 333 + 333 + 333 = 1000. Folglich gibt es mehr Möglichkeiten, 1000 mit vier ungeraden als mit vier geraden Zahlen darzustellen.

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