Hemmes mathematische Rätsel: Wie lautet das nächste Polynom?
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Die unendliche Folge von Polynomen
x
x2 – x
x3 – 3x2 + 2x
x4 – 6x3 + 11x2 – 6x
x5 – 10x4 + 35x3 – 50x2 + 24x
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ist nach einer bestimmten Regel aufgebaut. Wie könnte das nächste Polynom lauten?
Die Nullstellen der ersten drei Polynome lassen sich leicht berechnen. Sie sind die Zahlenmengen {0}, {0, 1} und {0, 1, 2}. Nun kann man vermuten, dass das n-te Polynom der Folge die Nullstellen {0, 1, 2, 3, …, n – 1} hat. Für das vierte und fünfte Polynom lässt sich leicht überprüfen, dass dies auch tatsächlich der Fall ist. Somit könnte das sechste Polynom der Folge x(x – 1)(x –2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) = x6 – 15x5 + 85x4 – 225x3 + 274x2 – 120x sein.
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