Hemmes mathematische Rätsel: Wie müssen die Zahlenzeichen angeordnet werden?
Das heutige Rätsel ist eine Variante einer Denksportaufgabe, die ich 2010 erfunden hatte. Im März 2023 fügte die 1949 geborene Mathematiklehrerin Edith Frank aus Mettmann in die Frage meiner alten Aufgabe nur das Wort »verschiedene« ein und machte dadurch aber daraus eine ganz andere Knobelei.
Die Zahlen von 1 bis 100 bestehen aus insgesamt 192 Ziffern. Wie kann man diese 192 Ziffern anordnen, dass sie möglichst wenige Zahlen bilden? Das Problem ist lächerlich einfach: Man kann die Ziffern in einer völlig beliebigen Reihenfolge zu einer einzigen 192-stelligen Zahl aneinanderhängen. Nicht ganz so leicht ist die Aufgabe, wenn man statt der arabischen Zahlen römische Zahlen nimmt. Wie kann man die 401 Zahlenzeichen der hundert Zahlen I, II, III, IV, V, VI … XCVIII, XCIX und C so anordnen, dass möglichst wenige verschiedene gültige römische Zahlen entstehen? Es muss die normale Subtraktionsregel benutzt werden. In einer römischen Zahl werden die Ziffern von links nach rechts nach absteigenden Werten geordnet. Das heißt, normalerweise steht links von einer Ziffer keine kleinere Ziffer. Die Subtraktionsregel in ihrer Normalform besagt, dass die Ziffern I, X und C einem ihrer nächst- oder übernächstgrößeren Zahlzeichen vorangestellt werden dürfen und dann in ihrem Zahlwert von dessen Wert abzuziehen sind.
Damit alle Zahlen verschieden sind, müssen die Zahlen, die einige der Zahlen von 1 bis 100 ersetzen, größer als 100 sein. Bei den römischen Zahlen von 1 bis 100 kommt das C insgesamt elfmal vor, nämlich bei den Zahlen von 90 = XC bis 100 = C. Löst man diese elf Zahlen auf, gewinnt man elf C, die man für elf Zahlen nutzen kann, die größer als 100 sind. Die längsten römischen Zahlen im Bereich von 101 bis 199 sind die neunstellige Zahl 188 = CLXXXVIII und die vier achtstelligen Zahlen 138 = CXXXVIII, 178 = CLXXVIII, 183 = CLXXXIII und 187 = CLXXXVII. Nimmt man nun noch sechs siebenstellige Zahlen hinzu, haben die neuen elf Zahlen insgesamt 83 Zeichen. Nun löst man von den ursprünglichen Zahlen, zusätzlich zu denen, die ein C enthalten und zusammen 41 Zeichen haben, noch die vier einstelligen Zahlen 1 = I, 5 = V, 10 = X und 50 = L auf, die elf zweistelligen Zahlen 2 = II, 4 = IV, 6 = VI, 9 = IX, 11 = XI, 15 = XV, 20 = XX, 40 = XL, 51 = LI, 55 = LV und 60 = LX, vier dreistellige Zahlen und eine vierstellige Zahl. Diese 31 Zahlen geben 83 Zeichen frei, aus denen man die elf neuen Zahlen zusammensetzen kann. Die ursprünglich 100 Zahlen verringern sich dadurch auf 80 Zahlen. Dazu gibt es eine ganze Reihe von Möglichkeiten. Eine davon ist III, VII, VIII, XII, XIII, XIV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XXI … XXX, XXXII … XXXIX, XLI … XLIX, LIII, LIV, LVI, LVII, LVIII, LXII … LXIX, LXXI … LXXXIX, CXXVIII, CXXXVIII, CXLVIII, CLXVIII, CLXXVII, CLXXVIII, CLXXXIII, CLXXXIV, CLXXXVI, CLXXXVII und CLXXXVIII.
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