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Hemmes mathematische Rätsel: Wie schnell fahren die beiden Autofahrer?

Zwei Fahrer fahren von Astadt ins 100 Kilometer entfernte Bedorf mit einer ganzzahligen Geschwindigkeit, deren Differenz eine Primzahl ist. Nach zwei Stunden ist der langsamere fünfmal so weit von Astadt entfernt wie der andere von Bedorf.
Eine Straße führt durch ein Waldgebiet in der Elfenbeinküste

Zwischen 1959 und 1971 warb die Firma Litton Industries in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Die besten dieser Probleme erschienen in den von Angela Dunn herausgegeben Büchern »Mathematical Bafflers« (1964) und »Second Book of Mathematical Bafflers« (1983). Eines der Rätsel aus dem ersten Buch lautet:

Zwei Autofahrer starten gleichzeitig in Astadt und fahren auf derselben Strecke in das 100 km entfernte Bedorf. Beide fahren mit konstanten, aber unterschiedlichen Geschwindigkeiten, die ganzzahlige Werte in Kilometer pro Stunde sind. Die Differenz dieser beiden Werte ist eine Primzahl. Nachdem beide Fahrer zwei Stunden unterwegs sind, ist der langsamere Fahrer fünfmal so weit von Astadt entfernt wie der schnellere Fahrer von Bedorf. Wie schnell fahren die beiden Autofahrer?

Wenn der schnellere Fahrer mit der Geschwindigkeit v km/h nach zwei Stunden die Strecke d km zurückgelegt hat, muss er noch (100 − d) km bis Bedorf fahren. Der langsamere Fahrer mit der Geschwindigkeit u km/h ist dann schon 5(100 − d) km von Astadt entfernt.

Somit gilt für die Fahrtzeit der beiden Fahrer d/v = 2 und 5(100 − d)/u = 2. Die erste Gleichung wird zu d = 2v umgeformt und in die zweite eingesetzt. Das ergibt 5(100 − 2v)/u = 2, was sich zu u = 5(50 − v) auflösen lässt. Daraus ergibt sich die Geschwindigkeitsdifferenz v − u = v − 5(50 − v) oder v − u = 2(3v − 125).

Da v − u eine Primzahl sein soll, muss 3v − 125 = 1 sein. Somit ist v = u + 2, was in die Gleichung für u eingefügt wird und u = 5(50 − (u + 2)) ergibt. Das kann man schließlich zu u = 40 auflösen. Die beiden Autofahrer sind also Sonntagsfahrer, die mit gemütlichen Geschwindigkeiten von 40 km/h und 42 km/h unterwegs sind.

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