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Hemmes mathematische Rätsel: Wie teuer sind die verschieden großen Produkte?

Euromünzen zu einem schiefen Turm aufeinandergestapelt

In einer Schublade unter der Ladentheke des Krämers liegen 260 Drollos: kleine, mittlere und große. Die mittleren Drollos sind nicht billiger als die kleinen und nicht teurer als die großen Drollos. Alle 260 Drollos zusammen kosten 260 Euro. Ein kleines Drollo kostet genauso viele Cent, wie kleine Drollos in der Schublade liegen. Ebenso kostet ein mittleres Drollo genauso viele Cent, wie mittlere Drollos, und ein großes Drollo genauso viele Cent, wie große Drollos in der Schublade liegen. Wie teuer sind ein kleines, ein mittleres und ein großes Drollo?

Liegen i kleine, j mittlere und k große Drollos in der Schublade, beträgt ihre Gesamtzahl i + j + k = 260 und ihr Gesamtpreis i2 + j2 + k2 = 26 000 Cent. Quadratzahlen können nur auf 0, 1, 4, 5, 6 und 9 enden. Damit die Summe der drei Quadratzahlen auf 0 endet, müssen i2, j2 und k2 auf (0, 0, 0), (0, 5, 5), (0, 1, 9), (0, 4, 6), (1, 4, 5) oder (5, 6, 9) enden, wobei die Reihenfolge der Endziffern beliebig ist. In den beiden ersten Fällen (0, 0, 0) und (0, 5, 5) sind auch die Endziffern von i, j und k (0, 0, 0) beziehungsweise (0, 5, 5), und ihre Summe endet folglich auch auf 0. In den vier anderen Fällen gibt es jeweils vier Möglichkeiten für die Endziffern von i, j und k. Man kann schnell überprüfen, dass bei keiner dieser 16 Möglichkeiten die Summe i + j + k auf 0 endet. Betrachten wir nun die beiden letzten Ziffern der Summe i2 + j2 + k2. Mit den Endziffern (0, 0, 0) für i, j und k endet sie auf 00, mit den Endziffern (0, 5, 5) hingegen auf 50. Folglich müssen alle drei Zahlen i, j und k auf 0 enden. Da i ≤ ≤ k ist, muss k ≥ 260/3 sein, und außerdem muss k ≤ √26 000 sein. Folglich kann k nur 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150 oder 160 sein. Den Rest kann man nun schnell durchprobieren, und man erhält i = 40, j = 100 und k = 120 Cent.

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